2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.6　对数与对数函数 .docx

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1、26对数与对数函数知识梳理1对数2对数函数的概念、图象与性质3反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数4对数函数与指数函数的关系指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换(2)由两函数的图象关于直线yx对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致特别提示：底数a对函数ylogax(a0且a1)的图象的影响(1)底数a与1的大小

2、关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1还是0a1时，若logaxlogbx，则a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A1P72例8)设alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacbDabc答案D解析解法一：由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32log52log72，所以abc.故选D.解法二：由对数运算法则得a1log32，b1log52，c1log72，log27log25log230，即lo

3、g72log52bc.故选D.(2)(必修A1P75T11)(lg 5)2lg 2lg 50_.答案1解析原式(lg 5)2lg 2lg (252)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)2(lg 5lg 2)21.3小题热身(1)(2017衡阳八中一模)f(x)则f()A2B3C9D9答案C解析f(x)flog32，ff(2)29.故选C.(2)(2018郑州模拟)已知lg alg b0(a0且a1，b0且b1)，则f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析lg alg b0，a，又g(x)logbxlogxlogax(x0)，函数f(x)与g(x)的单调性相同故选B.题

4、型1对数的运算(2017郑州二检)若正数a，b满足2log2a3log3blog6(ab)，则的值为()A36B72C108 D.对数式转化成指数式答案C解析设2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，所以108.故选C.(2018镇江模拟)已知log189a,18b5，求log3645.换底公式解因为log189a,18b5，所以log185b，于是log3645.方法技巧对数运算的一般思路1对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解见典例2.2在对数运算中，可先利用幂的运

5、算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算对于连等式，注意设等式为k，见典例1.冲关针对训练1已知3a4b，则()A.B1C2 D.答案C解析因为3a4b，所以alog3，blog4，log3，log4，所以log3log4log122.故选C.2(log32log92)(log43log83)_.答案解析原式log32log2.题型2对数函数的图象及应用(2018长春模拟)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.BC(1，)D(，2)数形结合法，排除法答案B解析解法一：构造函数f(x)4x

6、和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2loga，a，则a的取值范围为.故选B.解法二：0x，14x2，logax4x1，0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.故选B.条件探究若本典例变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a0且a1)的值域为y|y1，则函数y

7、loga|x|的图象大致是()答案B解析由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B.故选B.2(2017青岛统考)已知函数f(x)g(x)|xk|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为_答案解析对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即f(x)maxg(x)min，由f(x)的图象(如图)可知，当x时，f(x)取最大值，f(x)max；因为g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|，所以g(x)min|k1|，所以|k1|，解得

8、k或k，故答案为k或k.题型3对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(2016全国卷)若ab1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogacb1,0cbc，A错误；0c1，1c1ac1，又ab0，abbc1abac1，即abcbac，B错误；易知ylogcx是减函数，0logcblogca，logbclogac，D错误；由logbclogaclogac0，又ab10，alogbcblogac0，alogbc0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立3

9、2a0，a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围2比较对数式的大小若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底

10、后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较3解对数不等式，形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式4对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如ylogaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足f(x)0的x的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数ylogau及uf(x)；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则ylogaf(x)为增函数，若一增一减，则ylogaf(x)为减函数，即“同增异减”冲关针对训练1(2018河南模

11、拟)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbc1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故选B.2(2017南昌调研)a0，a1，函数f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，则a的取值范围是()A.a1Ba1C.a1答案A解析a0，a1，令g(x)|ax2x|作出其图象如右：函数f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，若a1，则或解得a1；若0a1，则解得a.故选A.题型4指数函数、对数函数的综合应用(2018西安模拟)设方程log2xx0，logxx0的根分别为x1，x2，则()Ax1x21

12、B0x1x21C1x1x21x20，于是有log2x1 x1 x2logx2，得x1，所以0x1x20时，分两种情况：当x1时，log2x0，yff(x)1f(log2x)1log2(log2x)1，令log2(log2x)10，即log2(log2x)1，log2x2，解得x4；当0x1时，log2x0，yff(x)1f(log2x)12log2x1x1，令x10，解得x1，因此函数yff(x)1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1首先考虑函数的定义域，见典例2.2注意联想数形结合思想见典例1.冲关针对训练1(2018天津模拟)已知f(x)ln (x21)，g(x)xm

13、，若x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围为()A.BC. D.答案B解析f(x)ln (x21)在0,3上单调递增，g(x)xm在1,2上单调递减，f(x)minf(0)0，g(x)ming(2)m.又x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，f(x)ming(x)min，即m0，m.故选B.2设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln (2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2B(1ln 2)C1ln 2 D.(1ln 2)答案B解析根据函数yex和函数yln 2x的图象可知两函数图象关于直线yx对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线yx平行且

14、与两曲线相切的直线间的距离，设曲线yex上的切点为A(m，n)，则A到直线yx的距离的2倍即所求最小值因为yex，则em1，所以mln 2，切点A的坐标为(ln 2,1)，切点到直线yx的距离为d，所以2d(1ln 2)故选B.1(2017北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033B1053C1073D1093答案D解析由题意，lglglg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 1053

15、53，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D.2(2018山西模拟)函数yln sinx(0x)的大致图象是()答案C解析因为0x，所以00在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)故选D.4(2015福建高考)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x2时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)当x2时，若a(0,1)，则f(x)3logax在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满足题意，a1，此时f(x)

16、在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则3loga24，即loga21，1a2.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018安阳检测)若点(a，b)在ylg x图象上，a1，则下列点也在此图象上的是()A.B(10a,1b)C.D(a2,2b)答案D解析当xa2时，ylg a22lg a2b，所以点(a2,2b)在函数ylg x图象上故选D.2已知函数f(x)2log2x，x1,2，则函数yf(x)f(x2)的值域为()A4,5B C.D4,7答案B解析yf(x)f(x2)2log2x2log2x243log2x，注意到为使得yf(x)f(x2)有

17、意义，必有1x22，得1x，从而4y.故选B.3(2018太原调研)已知函数f(x)xlog2x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)()A恒为负值B等于0C恒为正值D不大于0答案C解析作出yx和ylog2x的图象，如图由图可知有0x1log2x1.即 x1log2x10.f(x1)0.故选C.4(2017河南二模)函数y的图象大致为()答案B解析函数y的定义域为x|x0且x1，故排除A；f(x)f(x)，排除C；当x2时，y0，故排除D.故选B.5(2015湖南高考)设函数f(x)ln (1x)ln (1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，

18、且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析解法一：函数f(x)的定义域为(1,1)，任取x(1,1)，f(x)ln (1x)ln (1x)f(x)，则f(x)是奇函数当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选A.解法二：同解法一知f(x)是奇函数当x(0,1)时，f(x)ln ln ln .y(x(0,1)是增函数，yln x也是增函数，f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选A.6已知函数f(x)log(x2axa)在上是增函数，则实数a的取值范围是()A1，)BC.D(，1答案B解析f(x)log(

19、x2axa)在上是增函数，说明内层函数(x)x2axa在上是减函数且(x)0成立，只需对称轴x且(x)min0，解得a.故选B.7(2017安徽安庆二模)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x(，0时，f(x)为减函数，若af(20.3)，bf(log4)，cf(log25)，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb答案B解析函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)上为增函数，bf(log4)f(2)f(2)，120.32ba.故选B.8(2017广东模拟)若函数f(x)(exex)x，f(log5x)f(logx)2f(1

20、)，则x的取值范围是()A.B1,5C. D.5，)答案C解析f(x)(exex)x，f(x)x(exex)(exex)xf(x)(xR)，函数f(x)是偶函数f(x)(exex)x(exex)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增f(log5x)f(logx)2f(1)，2f(log5x)2f(1)，即f(log5x)f(1)，|log5x|1，x5.故选C.9(2017河北五校质检)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中m0，n0，则的最小值为()A2 B4 C. D.答案D解析由函数yloga(x3)1(a0，且a1)的

21、解析式知：当x2时，y1，所以点A的坐标为(2，1)，又因为点A在直线mxny20上，所以2mn20，即2mn2，又m0，n0，所以22，当且仅当mn时等号成立，所以的最小值为.故选D.10(2017江西红色七校二模)已知函数f(x)ln ，若fff504(ab)，则a2b2的最小值为()A6B8C9D12答案B解析f(x)f(ex)ln ln ln e22，504(ab)fff(22016)2016，ab4，a2b28，当且仅当ab2时取等号a2b2的最小值为8.故选B.二、填空题11(2018禅城区月考)已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则2ab的取值范围是_答案

22、2，)解析画出y|lg x|的图象如图：0ab，且f(a)f(b)，|lg a|lg b|且0a1，lg alg b，ab1，2ab22.当2ab时等号成立，2ab2.12函数f(x)log2log(2x)的最小值为_答案解析显然x0，f(x)log2log(2x)log2xlog2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)22，当且仅当x时，取“”，故f(x)min.13(2017山西质检)已知函数f(x)若f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为_答案1解析作出f(x)的图象，如图所示，可令

23、x1x2x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x对称，所以x1x21.又1x1x2x38，所以2x39.由f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3log2(9m)，解得m1.14(2017辽宁沈阳一模)已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.答案9解析f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，m10时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)lo

24、g(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)16设x2,8时，函数f(x)loga(ax)loga(a2x)(a0且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由题意知f(x)(logax1)(logax2)(logax)23logax22.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若21，则a2，此时f(x)取得最小值时，x(2)2,8，舍去若21，则a，此时f(x)取得最小值时，x22,8，符合题意，a.