2019大一轮高考总复习文数（北师大版）课时作业提升：49 抛物线及其性质 .doc

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1、课时作业提升(四十九)抛物线及其性质A组夯实基础1(2018巴彥淖尔一模)平面上的动点M到点F(0,3)的距离等于M到直线y3的距离，则动点M满足的方程为()Ay26xBy212xCx26y Dx212y解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y2(2018青海一模)若直线AB与抛物线y24x交于A，B两点，且ABx轴，|AB|4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A1 B2C3 D5解析：选A由|AB|4及ABx轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y24x得点A的横坐标为2，从而直线AB的

2、方程为x2.又y24x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为211，故选A3已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48解析：选C设抛物线方程为y22px，当x时，y2p2，|y|p，p6，又点P到AB的距离始终为6，SABP12636，故选C4(2018天水一模)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A BC D2解析：选C由题意得xAxB0设AFx(0)，|BF|m，则由点A到准线l：x1的距离为3，得3

3、23cos cos 又m2mcos()，得m，所以AOB的面积S|OF|AB|sin 15已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A或 B或C或 D解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，所以sin ，所以或6(2018赣州一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的2倍，且OAF的面积为2(O为坐标原点)，则p的值为_解析：设A(a，b)，则b22pa，|b|2，a2a，得p2答案：27(2018揭阳一模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_解析：由题意可

4、设抛物线的标准方程为x22py(p0)由定义知P到准线的距离为4，故24，得p4，所以抛物线的方程为x28y，代入点P的坐标得m4答案：48已知抛物线y22px(p0)，过该抛物线的焦点F且与x轴不垂直的直线AB交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，则MFN必为_.(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：由抛物线的定义可知|BN|BF|，BNF为等腰三角形，BNFBFN因为BNOF，所以BNFNFO，从而BFNNFO，所以NF平分OFB同理MF平分OFA，又BFOAFO180，所以NFOMFO90，即MFN为直角答案：直角9过抛物线y24x

5、的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，求AOB的面积解：如图，设A(x0，y0)，不妨设y00，由抛物线方程y24x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x1，故|AF|x0(1)3，可得x02，y02，故A(2，2)，直线AB的斜率为k2，直线AB的方程为y2x2，联立直线与抛物线方程，可得2x25x20，得x2或x，所以B点的横坐标为，可得|BF|(1)，|AB|AF|BF|3，O点到直线AB的距离为d，所以SAOB|AB|dB组能力提升1已知点P为抛物线y22px(p0)上一点，F为抛物线的焦点，直线l过P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切

6、且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则()AQ点位于原点的左侧 BQ点与原点重合CQ点位于原点的右侧 D以上均有可能解析：选B如图，设抛物线的准线为l，l与x轴交于点B，直线l与l交于点A，圆心为C，由题意可知，点C到PA，PF和x轴的距离相等，则点C是APF的平分线和BFP的平分线的交点，因为APFBFP180，所以PCF90，由抛物线的定义知|PA|PF|，所以C为AF的中点又O为BF的中点，所以OCAB，又AB垂直于x轴，所以圆心C在y轴上，所以圆C与x轴相切于点O，即O，Q重合2已知点F为抛物线y28x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|

7、PA|PO|的最小值为()A6 B24C2 D4解析：选C由已知可得抛物线y28x的焦点为F(2，0)，准线方程为x2设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2x04，所以x02，y04O点关于准线的对称点为O(4,0)，则当点P为AO与准线x2的交点时，|PA|PO|有最小值，且最小值为|AO|23已知点A(4,4)在抛物线y22px(p0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则EAF的平分线所在直线的方程为()A2xy120 Bx2y120C2xy40 Dx2y40解析：选D因为点A(4,4)在抛物线y22px(p0)上，所以168p，所以p2，所以抛物

8、线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，E(1,4)由抛物线的定义可得|EA|AF|，所以EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线因为直线EF的斜率k2，所以EAF的平分线所在直线的方程为y4(x4)，即x2y404已知点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y24x上存在点C，使ABC为等边三角形，则b_解析：不妨设C(x0，y0)(y00)，因为ABC为等边三角形，所以由抛物线的定义有，解得x03或x0，当点B在点A的右边时，b3215当B点在A点的左边时，b21答案：5或5如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E

9、的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为_解析：如图1所示，过点E作EHAB，垂足为H，因为E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，所以|OH|EH|1，|OE|在平面CED内建立平面直角坐标系，如图2所示，设抛物线的方程为y22px(p0)，F为抛物线的焦点，C(，2)，所以42p，p，F，即F为OE的中点，所以该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为答案：6(2018石家庄检测)在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x1，动直线l垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l于点P，设点P的轨迹为C(1)求曲线C的方程；(2)以曲线C上的点

10、Q(x0，y0)(y00)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求ABF与QAM面积的比解：(1)由题意得|PH|PF|，点P到直线l：x1的距离等于它到定点F(1,0)的距离，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，点P的轨迹C的方程为y24x(2)由y24x，当y0时，y2，y，以Q为切点的切线l1的斜率为k，以Q(x0，y0)(y00)为切点的切线方程为yy0(xx0)，即yy0，整理得4x2y0yy0令x0，则y，B，令y0，则xx0，A(x0,0)，点M(a,0)到切线l1的距离d2(当

11、且仅当y02时，取等号)当点Q的坐标为(a2,2)时，满足题意的圆M的面积最小此时A(2a,0)，B(0，)SABF|1(2a)|(a1)，SAQM|a(2a)|2|2(a1)，ABF与QAM面积之比为147(2018湖南联考)已知经过抛物线C：x22py焦点F的直线l： ykx1与抛物线C交于A，B两点，若存在一定点D(0，b)，使得无论AB怎样运动，总有直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数(1)求p与b的值；(2)对于椭圆C：y21，经过它左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有ADFBDF？若存在，求出D坐标；若不存在，说明理由解：(1)直线l：

12、ykx1经过抛物线C：x22py的焦点F，F(0,1)，p2将直线ykx1代入x24y得x24kx40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，无论AB怎样运动，直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数，无论x1，x2怎样变化，总有0，即b.x1x24，b1(2)直线l垂直于x轴时，A，B两点关于x轴对称，F(2,0)，要使ADFBDF，则D必在x轴上，设点D(a,0)直线l不垂直于x轴时，设l：yk(x2)，设A(x3，y3)，B(x4，y4)将l：yk(x2)代入y21得(15k2)x220k2x20k250x3x4，x3x4，ADFBDF，直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数，即0，a，以上每步可逆，存在定点D，使得ADFBDF