数学建模-金属板切割问答.doc

_* 武汉理工大学2014年数学建模与仿真课程论文 题目：金属板切割问题 姓 名： 学 院： 专 业： 学 号 选课老师： 数学建模与仿真课程论文题目 金属板切割问题 在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米50分米的矩形金属板，13块大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？ 摘要 1、 通过穷举法与实际意义相结合的方法，挖掘出题目所给条件的潜在含义，即可搭配的各种合理的切割模式。 2、利用LINGO软件，求解出原料板最少使用量以及达成此目标的具体模式分配。 目录 1题目要求1 1.1问题分析1 1.2模型假设1 2模型分析2 3模型建立3 4 LINGO程序的实现4 5求解结果5 6结果分析和检验5 7模型的优缺点6 8参考文献6 1、武汉理工大学2014年数学建模与仿真课程论文题目 B题：金属板切割问题 在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米50分米的矩形金属板，13块大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？ 1.1、问题分析：本题主要是讨论车间按需求切割金属板材时，如何拟定最合理的方案以使工厂经济效益实现最大化。 问题已知完成此次订单所能使用的唯一一种标准金属板材，并给出订单所需产品规格与数量。考虑到金属板材是生产中的最大的成本因素，因此在拟定计划时遵循节省原料的原则。首先完成生产样品的切割模式，再根据实际情况，以完成订单和节省原料为目标制定计划。 1.2、模型假设： （1）假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。实际上，金属加工生产中的废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。 （2）金属切割时不发生原料总面积减少。在生产实践当中，由于切割工艺问题， 在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损（如融化，形变等）。在模型中假设这种耗损不存在。 （3）不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对成本的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。 （4）假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设避免一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。 2、模型分析 该问题要求对车间生产切割金属板的方式进行数学规划，以达到经济效益最大化。在题中所给的条件的基础上，通过穷举法与实际意义相结合的方法，挖掘出题目所给条件的潜在含义，即可搭配的各种合理的切割模式。 1.分析找出所有的可能解决方案： 方案1: 方案2： 方案3： 方案4： 方案5： 方案6： 方案7： 方案8： 注：方案中颜色最深的代表36*50（dm)的矩形金属板,颜色第二深的代表24*36（dm)的矩形金属板，颜色最浅的代表18*30（dm)的矩形金属板. 2.用数据形式列举所有可能的解决方案的分割情况： 产品|模式 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 1 0 0 0 0 0 0 B 1 0 5 4 3 2 1 0 C 1 3 0 1 3 4 6 8 表2 在确立了8种切割模式的基础上，再建立数学模型，以8种模式为基点，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。在通过LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值，并通过检验证明，该模型求解出的最少原料使用量与具体切割模式是完全满足题目要求的。 3、模型建立 符号说明 K 原料使用量 xi(i=1,2,38) 照上述1-8方案下料的原料板数 A 36x50(dm)板 B 24x36(dm)板 C 18x30(dm)板 目标函数的建立： K=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; 由于采用原料使用量最少原则，因此只需将各种模式下使用原材料的数量加和得到目标函数K，然后求解满足题目条件（约束条件）的最小K值。 通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、2能切割A型产品，并且A型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X2之和大于或等于8； 通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、3、4、5、6、7能切割B型产品，并且B型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X3、X4、X5、X6、X7之和大于或等于13； 通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、2、4、5、6、7、8能切割C型产品，并且C型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X2、X4、X5、X6、X7、X8之和大于或等于15； 4、LINGO程序的实现 对于这样一个建立数学模型的问题，采用编写LINGO软件程序，利用其中的数学规划功能求解该问题。 对于LINGO软件的使用包括以下几个步骤： 1．编写目标函数，在编程过程中，用min求解K的最小值（最少原料板使用）。 2．编写约束条件，根据之前已经分析好的约束条件来编写。 3．点击LINGO按钮，得到最终可能性的编辑。 model: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;\\目标函数 x1+x2>=8;\\约束条件 x1+5*x3+4*x4+3*x5+2*x6+x7>=13; x1+3*x2+x4+3*x5+4*x6+6*x7+8*x8>=15; x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;x6>=0;x7>=0;x8>=0;\\原料板使用数量不能为负 @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);\\约束原料板使用数量为整数 End 软件的编程截图如下： 5、 求解结果 利用LINGO软件，求解出原料板最少使用量以及达成此目标的具体模式分配。 运行结果的截图如下： 6、 结果分析和检验 由程序运行结果可知，最少使用10块大金属板。生产模式为：4块原料板采用模式切割，4块原料板采用模式2切割，2块原料板采用模式3切割。此时最佳，即最少可以使用10块原料板。 7、模型的优缺点 模型的优点即，在建立过程中，充分考虑了在解决此问题当中的实际意义，确立了以所用原料最少的目标函数，使模型的大体方向正确，利于解决实际问题。 模型的缺点为，如果涉及的规划条件复杂化，很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明，而且可能遗漏部分需要讨论的情况。因此，对待更加复杂建模问题，不适用该方法。 8、参考文献 [1]网易博客- lingo教程 http://blog.163.com/fei_woo/blog/static/4010677520077268522253/ [2]长春工业大学数学建模学习资源网站-建模资料 http://mcm.dept.ccut.edu.cn/article.asp?2N1s191f1J2f1.html