数学建模依据优化问答的论文资料.doc

-/ 暑期数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 11 年 8 月 12 日 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 暑期数学建模竞赛 编 号 专 用 页 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 评阅记录（可供评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 统一编号： 评阅编号： 多因素条件下作物施肥效果分析 摘要 本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。 首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。 其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。 再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。 再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。 1.问题的重述 农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。 (1)试分析施肥量与产量之间关系； (2)试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构； (3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构； (4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重农民负担外，土壤退化、江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障碍。由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二是通过不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，导致蔬菜品质和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构。 (5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。 2.问题的假设 1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。 2.假设N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。 3.假设生产的农作物可以以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入收益考虑。 4.假设土壤中含有N、P、K元素标准，对模型影响忽略不计。 3.符号的说明 主要符号 符号意义 N、P、K 氮、磷、钾肥 表示施用N肥的产量 表示施用P肥的产量 表示施用K肥的产量 表示总产量 表示蔬菜售价 、、 表示N、P、K肥的售价 、、 表示施用N、P、K肥的是施肥量 施肥量 、、 表示施用N、P、K肥时的收益 总体满意度 、 为最满意产量值、最满意效益值 4.问题的分析及建模流程图 本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建立及深化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。 4.1基本思路 根据N、P、K肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与产量的关系，该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。考虑到施肥的经济性时，通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。 4.2具体分析 问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时，两种作物施肥量与产量的关系。二是以三种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过eviews,Matlab软件实现。 问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模型，通过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。 问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产量与售价得到产值，求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数，也可以基于三元二次函数。通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，以产值与施肥成本作为自变量。以施加肥料产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽略不计），构造二元函数。该函数的最大值即为收益的最大值，由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。 问题四：引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。 问题五：对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。 4.3流程图 5．模型的建立与求解 5.1模型的准备 在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论[1] 1. 公理1（Nickla和Miller理论）：设为达到最高产量时的施肥量，边际产量与成正比例关系。即，从而有 . 2. 公里2（米采利希学说）：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足时达到的最高产量与现在产量之差正比。即，从而有 5.2问题一 5.2.1一元线性回归模型的选择与建立 为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量作为因变量，以施肥量作为自变量，建立一元线性回归模型研究两者间的关系，根据散点图的趋势，构造适当的一元函数进行求解。 设与的函数为： （1） 其中，为回归系数，为随机误差。 利用最小二乘法求下式成立的函数 （2） 综上建立如下一元线性回归模型： （3） 5.2.2一元线性回归模型的求解 为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（0，1）间的值。利用Matlab软件处理数据得到N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。 图1土豆施肥量与产量的散点图 图2生菜施肥量与产量的散点图 根据散点图趋势，利用eviews软件进行多次拟合，通过P、、F、DW的检验值进行判定，选取最优的一元函数。得到如下N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的回归模型： （4） （5） 式（4）中的与式（5）中的为一元非线性回归方程，分别对，等式两边取对数，使之线性化： （7） （8） 利用eviews软件计算得到: 将对数形式化为指数形式计算得到土豆的与生菜的结果。 式（4）与式（5）中的其余方程为一元线性回归方程，可直接利用eviews软件进行计算，综上得到如下结果： 结果分析：从回归方程可看出，为一元二次方程，二次项系数为负数，方程有最大值。随着N肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。在一定范围内，农作物产量随着P肥和K肥的用量的增加一直增加。 5.2.3一元线性回归模型的检验 利用eviews软件处理数据，得到六组回归方程的检验值如下： 表1 一元回归方程的检验值 作物 肥料 土豆 N 0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000 P 0.0000 0.0001 0.911479 2.745148 0.000062 K 0.0000 0.0005 0.838049 1.200879 0.000532 生菜 N 0.0000 0.0000 0.0001 0.924907 1.849664 0.000116 P 0.0012 0.0000 0.946020 0.951693 0.000011 K 0.0000 0.0332 0.451954 2.456193 0.033204 其中、、分别表示方程常数a、前系数、前系数的检验值。土豆的与生菜的为非线性方程，、对应其线性形式即式（7）、式（8）中常数、前系数的检验值。 检验均通过，说明模型的拟合度较高，能够较好地反映施肥量与产量之间关系。 利用Matlab软件处理原数据与回归方程，得到六组回归方程的实际值与拟合值的对比图，实际值与拟合值基本一致，进一步验证了模型的准确性。 图3土豆N肥对比图 图4土豆P肥对比图 图5土豆K肥对比图 图6生菜N肥对比图 图7生菜P肥对比图 图8生菜K肥对比图 5.2.4模型的改进 表1中回归方程的检验值均通过，六个回归方程并不都具有高度的显著性，生菜中值为0.451954，与其它五个方程的检验值有较大差异，生菜中值为0.951693，与理想值相差较大。二次函数能够较好地反映肥料施肥量与产量的关系（公理1），为了提高回归方程整体的显著性，本文将三种肥料的施肥量最为自变量，以农作物的产量作为因变量，拟合成三元二次函数，建立多元回归模型，进一步分析施肥量与产量之间关系。 （9） 利用eviews软件处理数据计算得到土豆与生菜的回归方程结果及检验值： 结果分析：一元回归方程只能反映一种肥料与产量的关系，改进后的模型能够反映出三种肥料搭配情况的不同对农作物产量造成的影响，避免了多个回归方程显著性的不一致。 由，中一次项前的系数可反映各肥料对产量的影响程度，，。此三种肥料的影响程度 。 表2三元二次回归方程的检验值 作物 土豆 0.005 0.000 0.000 0.001 0.018 0.000 0.001 0.912 1.479 0.000 生菜 0.011 0.000 0.000 0.000 0.005 0.003 0.020 0.859 1.107 0.000 其中表示系数的检验值，检验都通过，从检验值看出两个回归方程均具有高度的显著性，拟合效果较好。 5.3问题二 :模型的建立及求解 5.3.1基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解 本问只追求高产，则只要求出问题一中拟合出的函数的最大值即可。 分别对问题一中拟合的一元二次回归模型和改进后的三元二次回归模型进行求解。 由原数据散点图及得到的拟合曲线知，N肥用量较少时，随着N肥用量增加，农作物产量会增加，到一定用量后达到最大，N肥继续增加，农作物产量反而会降低。P肥和K肥用量对农作物产量的影响随着其用量的增加而一直增加，但P和K用量少时，效果显著，当P和K达到一定值时，产量增加将不明显，因此基于一元二次回归方程求解产量最大化，可以简化为P、K肥固定在较高水平，求解产量最大化时N肥的施肥量。 本文将P、K肥固定在第7水平，利用问题一中土豆与生菜的一元二次回归方程进行求解。 (10) 求导，令其为零，有 则，当时，取得最大值，即N肥使用量为时，产量最大。 综上得到如下模型： (11) 经计算得到P、K肥固定在第7水平时，产量最大化的结果。 表3 P、K肥施肥量固定最大产量与N肥施肥量结果 作物 N施肥量 P施肥量 K施肥量 最大产量 土豆 生菜 土豆与生菜N的施肥量分别为，产量最大，最大值分别为，。此时P、K施肥量保持在第七水平，即与。 5.3.2基于三元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解 根据改进后的反映三种肥料与产量关系的三元二次函数求解目标最大值。 对土豆与生菜的三元二次 ，分别求解其产量最大值与对应的，三种肥料的施肥量。 利用Matlab软件求解得到产量最大时土豆与生菜N、P、K三种肥料的施肥量与最大值如下表： 表4基于三元二次回归方程最大产量与施肥量的求解结果 作物 N施肥量 P施肥量 K施肥量 最大产量 土豆 生菜 结果分析：以产量最大化为目标，比较两个模型得到的结果，看出，基于三元二次回归方程求解得到的产量最大值更优，因此本问采用表4的结果。 5.4 问题三：模型的建立及求解 5.4.1收益最大化模型的建立 假设当考虑到经济性时，作物产量以收益最大化为目标。使用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时，就应该施肥，否则就不应该多施肥。 设某蔬菜的售价分别为，N、P及K化肥的售价分别为，施肥量为。 当施肥量为时，对于该蔬菜的产量为： (12) 该蔬菜施用N肥料的费用是： (13) 其中表示肥料的施肥量。 施加肥料后的总收益为： (14) 其中表示因施加肥料产生的收益，为因其它成本产生的收益。 为固定值，本文近似将看成总的收益。因此为本问追求的目标，综上可以得到如下的收益最大化模型 (15) 5.4.2收益最大化模型的求解 方法1：单独以一种肥料为自变量，产量为因变量，将另外两种肥料固定在第七水平，基于问题一得到的六个一元回归方程进行求解。 方法2：基于以三种肥料为自变量，以产量为因变量的三元二次回归方程进行求解。 5.4.2.1基于一元回归方程收益最大化模型的求解 查找到的肥料与产量价格如下表。 表5肥料及产量价格（江苏农业网） 商品 N（元/吨） P（元/吨） K（元/吨） 土豆（元/吨） 生菜（元/吨） 价格 1560 3295 3500 2200 2400 以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定在第七水平，将原数据以及肥料与产量价格数据带入模型进行求解，计算得到土豆的收益表达式为： 生菜的收益表达式为： 利用Matlab软件求解得到如下最大收益结果： 表6作物最大收益与肥料施肥量 作物 收益\施用量 N肥 P肥 K肥 土豆 最大收益(元) 92830 88841 11506 施肥量（kg） 288.67 410.68 5946 生菜 最大收益（元） 47137 134190 施肥量（kg） 209.06 23154 其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N肥的施肥量为，P、K肥施肥量分别为第七水平值，即、时产量最大。 结果分析：观察表6，看出生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，这显然不符合实际情况，因此基于一元线性回归方程收益最大化模型需要改进。 5.4.2.2基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进 根据问题中一元线性回归模型的结果，随着N肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低，在一定范围内，农作物产量随着P肥和K肥的用量的增加一直增加。结合表5最大收益与肥料施肥量的结果，分析看出，N、P肥施肥量固定在第七水平，随着K肥的施肥量的增加，K肥成本小于产量收益会造成收益趋近于无穷大。 由问题一得到的反映施肥量与产量关系的一元回归方程如下： (15) (16) 只有土豆与生菜的为一元二次函数，虽然这六个函数是通过检验值选取的，但题中数据有限，很可能产生偶然误差，显著性高并不一定能够反映作物的实际规律，根据（公理1），一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系，据此本文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合。 (17) 利用eviews软件处理原数据得到如下回归结果与检验值： 表7一元二次回归方程检验结果 作物 肥料 土豆 N 0.0000 0.0000 0.0000 0.986290 2.141965 0.000000 P 0.0000 0.0032 0.0221 0.864483 2.217384 0.000916 K 0.0001 0.0197 0.1109 0.788507 0.843805 0.004350 生菜 N 0.0000 0.0000 0.0001 0.924907 1.849664 0.000116 P 0.0002 0.0001 0.0018 0.958787 1.597617 0.000014 K 0.0000 0.5140 0.9539 0.452235 2.456459 0.121641 其中p表示系数P值的检验，生菜中K的检验值未通过，由图9，生菜施肥量与产量的散点图观察得，散点图各点分布极不规律，本文认为是题中数据有限产生的偶然误差，对此忽略不计。 图9生菜施肥量与产量的散点图 基于收益最大化模型： (18) 利用Matlab软件求解得到如下最大收益结果： 表8作物最大收益与肥料施肥量 作物 收益\施用量 N肥 P肥 K肥 土豆 最大收益(元) 92830 90245 93661 施用量（kg） 288.6631 251.7938 534.4460 生菜 最大收益（元） 47137 53195 48513 施用量（kg） 209.0625 542.8434 2656 其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N肥的施肥量为，P、K肥施肥量分别为第七水平值，即、时产量最大。 结果分析：观察表8，与表6中的结果相比，结果更加合理，更符合实际情况，改进后的模型具有较高的实用性。 5.4.2.3基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解 分析表3，表4最大产量与施肥量的结果可以看出，基于如下三元二次回归方程求解造成了肥料大量的浪费。 (19) 表示不施肥的产量，为非负数值而利用该函数拟合出来的常数项为负，并且没有N、P、K交叉相乘的项，没有考虑到三种肥料的交互影响，造成结果中三种肥料搭配不科学情况的出现。因此加入经济因素后再基于该函数求解是不合理的，本文将该函数进行改进。 N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。由于原点并不在数据的范围，导致了拟合误差。本文在已有数据上增加一个点，增加N、P、K三种肥料的交叉项。利用Eviews软件处理原数据与增加的点对重新进行三元二次拟合。 得到反映产量与施肥量关系的三元二次方程： 表9改进的三元二次回归方程的检验值 作物 土豆 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 - 0.95 1.54 生菜 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 - 0.00 0.91 1.11 检验均通过，拟合效果显著。 基于收益最大化模型： (20) 利用Matlab软件计算得到如下结果： 表10作物最大收益与肥料施肥量 作物 最大收益(元) N肥（kg） P肥（kg） K肥（kg） 土豆 102500 363.98 243.80 620.1 生菜 52023 271.39 699.39 407.61 结果分析：比较表8与表10的结果看出，基于改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想。 5.5问题四：模型的选择与建立 5.5.1基于线性规划收益最大化模型的选择与建立 根据文献[3]，化肥污染主要是氮污染，本文近似认为P、K肥不会产生污染,在宏观估算农田氮污染时，依据N肥的施肥量就可以判定N污染程度，建立了农田氮污染评价指标体系，为了便于计算，本文选取评价体系的宏观指标，并进行了改善和简化，得到如下的评价指标。 表11氮肥污染程度评价体系表 污染程度 无污染 轻度污染 中度污染 重度污染 强度污染 污染指数 <0 0~25 25~50 50~70 >70 根据文献[4],我国大田作物无污染的施氮量标准为每季，此范围的施氮量不会引起氮素的明显流失，称为“平均适宜施氮量”。 基于收益最大化，本文取，得到污染指数计算公式。 (21) 以N、P、K肥料的调配比例为作为约束条件，以n、p、k表示三种肥料的施肥量，以N肥的施肥量表示P、K肥的施肥量，得到： ， 其中、和、均为常系数，可以进行人为设定。 在此约束条件下，基于效益最大化模型，建立施加肥料的总收益: (22) 综上建立如下线性规划收益最大化模型： (23) (24) 5.5.2基于线性规划收益最大化模型的求解 文献[5]，经统计N、P、K肥料施加比例平均为时最有利于作物的生长，考虑到两种作物存在偶然误差，本文将该比例调整。 即，， ， 以轻度污染作为约束条件，即 ，。 根据问题三中的结果分析，通过改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想，因此本文基于如下回归方程求解最大收益。 利用lingo软件求解得到收益最大化结果 表12增加环保因素后作物收益最大化结果 作物 收益(元/ha) N肥（kg/ha） P肥（kg/ha） K肥（kg/ha） 污染指数 土豆 77946 281.25 196.88 168.75 25 生菜 26757 244.19 170.93 146.51 8.5 结果分析：比较表12与表10，看出，增加环保因素后，土豆与生菜的最大收益都有所降低，但N肥的减少降低了污染，属于轻度污染，基本符合要求。 5.5.3多目标规划模型的选择与建立 基于线性规划求解最大收益时，本文以各目标偏差变量之和最低为目标，以污染指数公式，肥料调配比例作为约束条件，建立多目标规模模型[6]，再结合收益最大化模型实现多目标求解。 设为未达到环境指标目标的差值, 为超过目标的差值，为使其尽可能不超过25，则有 (25) 设为磷肥与氮肥使用量比的偏差变量，为钾肥与氮肥使用量比的偏差变量，为使尽可能的接近最优比例，则有 (26) 设为收益的偏差变量，为使收益不小于需要值，有 以各偏差变量之和最小作为目标 (27) 其中，分别为污染程度、施肥比例、收益偏差的权重系数。 对约束条件进行无量纲化处理，处理方法如下： 例如设 处理得 将约束条件无量纲化处理后得到如下多目标规划模型： (28) 5.5.4多目标规划模型的求解 基于我国土壤退化十分严重的国情，本文以环境指数前提，追求最大收益，令土地被污染程度偏差的权重系数，三种肥料搭配比例偏差的权重系数，农作物收益偏差权重系数。 由 计算得到N肥施肥量的满意范围，以 作物N、P、K肥料的最佳搭配比例，根据此比例计算得到P、K肥施肥量的满意范围，以表10得到的最大收益结果作为满意值，综上经计算得到表13两种作物各目标满意值，最终结果若符合表13中的各目标满意值，则结果符合要求。 表13作物各目标满意值 作物 N肥（kg/ha） P肥（kg/ha） K肥（kg/ha） 收益(元/ha) 环境指数 土豆 100000 生菜 52000 利用lingo软件计算得到表14土豆与生菜各目标的实际值。 表14多目标规划结果 作物 N肥（kg/ha） P肥（kg/ha） K肥（kg/ha） 收益(元/ha) 环境指数 土豆 281.25 143.41 245.28 82116 25 生菜 281.25 140.625 485.33 44627 25 结果分析：环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 5.6问题五：基于层次分析法与多目标规划评价模型的选择与建立 利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值