数学建模论文资料-体重与身高问答.doc

^` 数 学 建 模 论 文 体 重 问 题 摘 要 运用了数学中的拟合方法,拟合是对不同类型事物之间关系之表象的抽象。任何一个单一的关系必须依赖其他关系而存在，所有实际事物的关系都表现得非常复杂，这种方法就是对规律或趋势的拟合。拟合的成果是模型，反映一般趋势，趋势表达的是“事物和关系的变化过程在数量上所体现的模式和基于此而预示的可能性”。即是本题中身高与体重所体现的关系. 该问题是让我们运用数学思想和定理,来建立一个关于身高与体重的函数关系表达式.并在实例中进行检验,评价其合理性. 通过分析我们得出最为合理的一种假设,设其为指数函数.并根据假设经过绘图求解、验证得出关于身高与体重的函数模型为:. 经过分析该模型比较科学的反映出身高与体重的关系.但没有考虑过多因素的影响.因此,我们在衡量体重时应考虑诸多实际因素. 关键字： 数学拟合 绘图 问题重述 通过分析题意作如下重述: 表一是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表： 身高（cm） 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重（kg） 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 根据表(一)中提供的数据,要求我们用已经学过的一种函数,使它比较近似的反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系,并求出这个函数的解析式. 表二(实际采集到的50组样本) 性 别 男 男 男 男 男 女 男 女 男 女 年 龄 22 20 20 20 20 20 20 20 21 21 身高(cm) 176 174.5 176 180 176 167 178 168 181 162 体重(kg) 75 79 63 70 70 60 74 55 64 43 性 别 女 男 男 男 男 男 女 女 男 女 年 龄 21 21 22 21 22 22 21 21 22 22 身高(cm) 165 181 171 174 170 176 160 160 168 161 体重(kg) 55 70 62 68 65 65 55 44 55 55 性 别 女 女 女 女 女 女 女 女 女 女 年 龄 19 19 18 18 19 19 20 20 20 19 身高(cm) 156 156 157 156 161 161 162 163 165 165 体重(kg) 50 56 46 44 42 48 48 43 60 59 性 别 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 年 龄 20 20 21 20 21 20 19 19 20 20 身高(cm) 165 168 169 170 171 171 172 172 173 173 体重(kg) 60 58 59 55 62 60 50 56 57.5 65 性 别 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 年 龄 19 19 20 20 19 19 20 21 21 21 身高(cm) 158 160 161 160 162 165 168 170 173 172 体重(kg) 48 50 51 50 53 56 55 58 55 52 根据表(二),结合实例,验证求出的函数是否适合不同的年龄和性别.给出验证的方法、公式和标准,提出修正意见. 二、问题分析 根据实际情况,体重受身高、年龄、性别、饮食、地域、国家、环境的影响. 不同身高、年龄、性别、国家、地域的人们的体重是有差别的.如:中年人和儿童,日本人和美国人,中国的南方和北方.该题忽略以上因素的影响. 根据图表(一)我们可以知道,本题属于拟合问题.表中提供的数据可得出如下函数图象: 通过分析,此图象在第一象限且呈递增趋势.我们得出四种假设: 假设一 通过该图象的走势与形状,我们假设它是一条直线,由于该直线全部位于第一象限,也就是,x,y,并且该图象与y轴的交点[我们设为],的范围为,其表达式为:通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:代入得 假设二 观察图象类似于二次函数曲线图象,我们做出第二种假设.其系数设为,常数项为.其必须满足条件为: ,c1,其表达式为:通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:代入得 假设三 该图象又类似于三次函数在第一象限的走势,我们作出第三种假设.其系数设为常数项为,其必须满足的条件是: , ,其表达式为:通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论: 由于所以三次项系数为,表达式变为: 假设四 分析图象又可得出第四种假设,由于该图象可由指数函数变换得出,故设其表达式为:其中必须满足条件: , 通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:,代入表达式可得: 根据假设绘制函数对比图象如下: (注:,,, 详图见附录).又分析可知:假设一中的范围为与所求出的结果不符,故此种假设一不成立.又假设二中的范围是与所求出的结果不符故假设二不成立.然而假设三中与其必须满足的条件:的范围和的范围不符,故假设三不成立.而假设四中所求结果与其范围:完全符合故假设四成立. 又由图可知与原函数图象偏离最远的是图象、偏离较远的是图象、偏离较小的是、重合最多的是.所以函数 即为所拟合的函数也就是所求原函数的解析式. 三、模型建立及求解 由于体重受身高、年龄、性别等诸多因素的影响,很难找到一个适合每个人和每个年龄阶段的非常准确的公式来衡量.为此,只能选取影响体重最直接的因素—身高来建立一个基本的数学模型从宏观上反映体重与身高的关系.根据上述假设分析可得出身高与体重之间的简化模型是其中自变量表示身高,因变量表示体重.其图象如下: 根据上述分析可得出身高与体重之间的基本模型是两边取常用对数,得其简化模型是.其中自变量表示身高,因变量表示体重.其图象如下: 根据已得出的简化模型,运用拟合的数学思想,借助matlab软件,把采集到的数据样本中的身高 176 174.5 176 180 176 167 178 168 181 162 165 181 171 174 170 176 160 160 168 161 代入简化模型,得出验证过程如下: 其验证体重(kg)分别是:64.2255,62.3554,64.2255,69.4912, 64.2255, 53.7907,66.8065,54.8069,70.8737,48.7449,51.7125,70.8737,58.2009,61.7442,57.0655,64.2255,52.7414,46.8617,54.8609,47.7940 四、结论分析及检验 通过模型求解,得出实际体重与验证体重的对比数值如下表: 性 别 男1 男2 男3 男4 男5 女1 男6 年 龄 22 20 20 20 20 20 20 身高(cm) 176 174.5 176 180 176 167 178 实际体重(kg) 75 79 63 70 70 60 74 验证体重(kg) 64.2255 62.3554 64.2255 69.4912 64.2255 53.7909 66.8065. 误差 10.7745 16.6446 -1.225 0.5088 5.7745 6.2091 7.1935 性别 女2 男7 男8 男9 男10 男11 女3 年龄 21 21 22 21 22 22 21 身高 165 181 171 174 170 176 160 实际 55 70 62 68 65 65 55 验证 51.7125 70.8737 58.2009 61.7442 57.0655 64.2255 52.7414 误差 3.2875 -0.8737 3.7991 6.2558 7.9345 0.7745 2.2586 性 别 男12 女4 男13 女5 女6 女7 年 龄 21 21 22 22 20 21 身高 181 162 168 161 168 160 实际 64 43 55 55 55 44 验证 70.8738 48.7449 54.8609 47.7940 54.8609 46.8617 误差 -6.8737 -5.7449 0.1391 7.206 0.1391 -2.8617 通过误差分析,在此我们把误差控制在6kg以内,20个人的体重中有12人符合所建立的简化模型,也就是60%的人体重与身高符合简化模型,在此我们忽略了影响身高的因素年龄和性别,导致了误差的产生,我们可以假设年龄和性别相同的情况下,这一模型的适用性、合理性会更强.此公式的合理性就在于能够通过身高比较近似的反映出一个人的体重.据此,我们提出一些修正意见,在衡量一个人的体重时,应综合考虑地域、年龄、饮食等诸方面的因素. 由于采集样本中身高差异较大,相同身高的人数比例较少.所以在误差(误差3)允许的范围内采取以下分组: ①、共4人他们身高的平均值是; 160+162+161+160/4=160.75 ②、共2人他们身高的平均值是; 167+165/2=166; ③、共3人他们的身高的平均植是: 170+168+168/3=168.6667 ④、共3人他们的身高的平均植是: 171+174.5+174/3=173.1667 ⑤、共4人他们的身高的平均植是: 176+176+176+176/4=176 ⑥、共4人他们的身高的平均植是: 178+181+181+180/4=180 把六组身高平均值代入得出六组体重平均值,计算结果如下: 即他们的体重(kg)平均值分别为:47.5592,52.7414,55.5865, 60.7389,64.2255,69.4912 根据题目中的要求,体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖,底于0.8倍的为偏瘦.运用实际平均值/平均体重进行对比,过程如下: 第一组:;；； ; 由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常. 第二组: ；; 由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常. 第三组: ;; ; 由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常. 第四组: ;; 由于该组有一位同学超过相同身高平均值的1.2倍,为偏胖,其它均为正常. 第五组: ; ; ; 由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常. 第六组: ; ; ; 由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常. 以下是从网上搜索到的现在流行的一些计算标准体重的公式: 公式一 男生58公斤＋0.6（身高－166公分）＝标准体重。 女生51公斤＋0.5（身高－155公分）＝标准体重。　　 上述公式忽略年龄的差别,并盲目采用体重和身高的标准来判断一个人是否超重,经过代入实际采集的数值检验,该公式不太科学,具有很大的片面性. 公式二 身高 计算公式 159cm以下 身高-100 = 标准体重 160-164cm (身高 - 100)0.9 = 标准体重 165-169cm 身高-105=标准体重 170cm以上 身高-110=标准体重 上述公式虽然在身高上分得很详细,但是忽略了年龄、性别的差异,但是造成了男女身高相同但是体重不同的实际情况.所以该公式也不太科学. 公式三 男性标准体重（kg）＝身高（cm）-105 女性标准体重（kg）＝身高（ cm）-100 此标准上下波动10％属正常范围。 小于10％～20％为轻度营养不良。 小于20％～40％为中度营养不良。 小于40％为严重营养不良。 大于10％～20％为超重。 大于20％为肥胖。 该公式也忽略了受体重影响的诸多因素,如:年龄、地域、饮食等,因而该公式也是不科学的. 五、模型评价 优点: 此模型运用拟合的思想,能够比较科学的反映出身高与体重之间的关系,是衡量体重的比较合适的方法.由我们的计算、推导、验证且正确率较高. 缺点:该模型忽略了衡量体重的其他因素,较为理想化.并且得出的公式不便于实际运用,计算较复杂. 建议:影响体重的因素颇多,应全面综合考虑.如果可能给出一些便于比较的范围或者在运用模型的同时给出一些常用指数的对应值表则更好. 推广:拟合是对不同类型事物之间关系之表象的抽象。任何一个单一的关系必须依赖其他关系而存在，所有实际事物的关系都表现得非常复杂，这种方法就是对规律或趋势的拟合。拟合的成果是模型，反映一般趋势，趋势表达的是“事物和关系的变化过程在数量上所体现的模式和基于此而预示的可能性”。所以拟合的思想已经广泛运用到社会各个领域,如:生物化学、计算机领域、工程设计、机械电子化等. 参考文献： [1] 《数学实验与数学建模》，张圣勤，2010年； 2011-12-16