等比数列知识点总结与典型例题 2.docx

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1、精品名师归纳总结等比数列学问点总结与典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等比数列的定义：2、通项公式：anan 1q q0n2,且nN *, q 称为公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa qn 1a1 qnA Bnaq0, A B0 ,首项：a 。公比： q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111qn mn manan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广： anamqqqn mamam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比中项：可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品名师归纳总结（1） 假如a, A,b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项,即： A2ab 或 Aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 同号的 两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 数列a是等比数列a 2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当 q（2） 当 q1 时, Sn1 时, Snna1na1 1qa1anq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

3、1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a1qn1q1qAA BnA BnA （A, B, A, B 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等比数列的判定方法：（1） 用定义：对任意的 n ,都有aqa或 an 1qq为常数, a0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnnnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn（2） 等比中项： a 2aaaa0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

4、总结1n1n1n1（3） 通项公式：aA BnA B0 a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn6、等比数列的证明方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据定义：如anq q0n2, 且nN *或aqa a 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（2） 对任何m, nN *,在等比数列 an 中,有aa qn m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、名师归纳总结nmnmst（3） 如mnst m,n, s, tN * ,就aaaa 。特殊的,当 mn2k 时,得anamak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： a1 ana2an 1a3 an 2等差和等比数列比较：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义递推公an 1andan 1anq q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1m式通项公anan 1d 。 a nam nmda nan1 q 。 anaqn m可编辑资料 - - - 欢

6、迎下载精品名师归纳总结ana1式 n1 dana1qn1 （ a , q0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项Aan ka n k2（ n, kN * , nk0 ） Ga n k a nk a nk a n k0 （ n, kN * , nk0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSn2 a1nan na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前n 项和n n1S na1 1qa1a n q q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S

7、nna1d21q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重要amanapaqamana pa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质m, n, p, qN * , mnpq m, n,p, qN * , mnpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经典例题透析类型一：等比数列的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1等比数列 an 中, a1a964 ,a3a720 ,求 a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨

8、： 由等比数列的通项公式, 通过已知条件可列出关于a1 和q 的二元方程组, 解出a1 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q ,可得解析：a11 。或留意到下标 1937 ,可以利用性质可求出a3 、 a7,再求a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1911法一： 设此数列公比为 q ,就aaaa q8641可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa q 2a q 6202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由2得：4 a10 .a q 2 13711q4 203可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1得：4 2 a1q 64, a1q8.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 4得：1 q 4q 2205 ,82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 q 45q 220 ,解得 q 22 或q 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当q 22 时, a2 , aaq1064 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111当q 21 时, a232 , aaq10

10、1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111法二： a1a9a3 a764 ,又 a3a720 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 、 a 为方程x220 x640 的两实数根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a316或a74a34a716可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a27211 a3a11a7, a1 或 a1164 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以削减运算量。解题过程中详细求解时,要

11、设法降次消元,经常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】an 为等比数列, a1=3, a9 =768,求 a6。【答案】 96法一： 设公比为 q,就 768=a1q8,q8=256, q=2, a6=96。法二： a52=a1a9a5=48q=2, a6=96。【变式 2】an 为等比数列, an0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。【答案】 64。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a aa21 894516 ,又 an0, a45=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品名师归纳总结 aa aa344 45464564 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n【变式 3】已知等比数列 an ,如 a1a2a37 , a1a2a38 ,求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22【答案】 an2n 1 或a23。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n法一： a1a3a 2 ,a1a2a3a 38 , a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2从而 a1a3a1a345, 解之得 a11 , a34 或a14

13、, a31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当a11 时, q2 。当 a114 时, q。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故ann 13 n2或an2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二：由等比数列的定义知 a21aa qa q 27a1q , a3a q 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入已知得111111aa q a q 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a111a 3q3qq 27,8a11a1qqq2

14、7, 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将a12 代入（ 1）得q2q25q20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 q2 或 q12a1a14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 2）得1或1q2q2,以下同方法一。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.解析： 如 q=1,就有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1 .因 a10,得 S3+S6 29S,

15、明显 q=1 与题设冲突,故 q 1.a 1q 3a 1q 62 a 1q 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 SS2 S 得,111,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3691q1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 q32q6-q3-1=0,由 q0,得 2q6-q3-1=0,从而 2q3+1q3-1=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 q31,故 q3举一反三：3 41,所以 q。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 1】求等比数列【答案】 3

16、64 。2431 11,L的前 6 项和。3 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a11 , q1 , n63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结331 6364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S611123。3243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 2】已知： an 为等比数列, a1a2a3=27,S3=13,求 S5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】121或 121 。9a 1q 3 1可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 327a3 , 131q3或q,就 a1=1 或 a1=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221q3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13591 135121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S5121或S513.1 193可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】在等比数列 an 中, a1an66 , a2an 1128 , Sn126 ,求 n 和 q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 q1 或 2, n6

18、 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2an 1a1 an ,a1an128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组a1an128,得a164a12或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1an66an2an64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a164n将代入 Sa1anq,得 q1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1an21q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由ana qn,解得 n6 。可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a12将代入 Sa1anq,得 q2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nan641q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由ana qn,解得 n6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 q1 或 2, n6 。2类型三：等比数列的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 等比数列 an解析：中,如 a5a69 ,求 log 3 a1log 3 a2.log 3 a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 是等比数列,a1a10a2 a9a3 a8a4a7a5 a69可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 log 3 a1log 3 a2log 3a10log 3a1 a2a3La10 log 3a5a 5log 9510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结63举一反三：【变式 1】正项等比数列 an 中,如 a1a100=100; 就 lga1+lga2+ +lga100= .【答案】 100。lga1+lga2 +lga3+ +lga100=lga1a2a310a0而 a1a100=a2a99=a3a98= =a50a51原式=lga1 a10050=50lga1a100=50 lg100=100。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品名师归纳总结【变式 2】在 83和 272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,就插入的三个数的乘积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 。【答案】 216。法一： 设这个等比数列为 an ,其公比为 q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8511 a, a27a q48 q4 , q481 , q29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结323164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 aaaa q a qa q 3a 3q633896321

22、6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234111134可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 设这个等比数列为 an,公比为 q ,就 a18 , a 327 ,52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加入的三项分别为 a2 , a3 , a4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意a , a , a 也成等比数列, a82736 ,故 a6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2135333223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2a3 a4a3a3a3216 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

23、品名师归纳总结类型四：等比数列前n 项和公式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4在等比数列 an 中,已知 Sn48 , S2n60 ,求S3n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨： 等差数列中也有类似的题目,我们仍旧采纳等差数列的解决方法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和, ,第 n 个 k 项和仍旧成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观看 b1=a1+a2+ +an,nb2 =an+1+an+2+ +a2n=q a1+a2+ +an,2

24、nb3 =a2n+1+a2n+2+ +a3n=q a1+a2+ +an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易知 b1,b2,b3 成等比数列, b3S3n=b3+S2n=3+60=63.2122b23 ,b148可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： S2na1112Sn , q1 ,qn 48q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知得a111q2n q60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得1qn5 ,即 qn144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

25、欢迎下载精品名师归纳总结代入得a164 ,1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S3na11q 3n 164163 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法三： an 为等比数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 也成等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n S2nS 2Sn S3nS2n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S3n S2nSn 2SnS2n60482486063 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

26、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三：【变式 1】等比数列 an 【答案】 17。中,公比 q=2, S4=1,就 S8=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4 +a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4a1+a2+a3+a4=S4+q4S4=S41+q4=1 1+24=17【变式 2】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？【答案】 130。法一： S10, S20-S10,S30-S20 构成等比数列, S20-S102=S10S30-S20即

27、302=10S30-40,S30=130.法二： 2S10S20, q1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S101a1 11q101q10 q10 , S20aa111q 20 q40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1q 20, q103 ,1541q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S30a111q30 q 5133 130 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 3】等比数列 an n.的项都是正数,如 Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大的一项为 54,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

28、结【答案】 Sn S2n806560, q1 否就Sn1 S2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sna111qn q=80.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2na111q 2n q=6560.2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1得： 1+qn=82,qn=81. 3该数列各项为正数,由 3知 q1an 为递增数列, an 为最大项 54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a54 q2 q 代入1得 2 q181801q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载

29、精品名师归纳总结18133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q=3, n=4.【变式 4】等比数列 an 中,如 a1+a2=324, a3+a4=36, 就 a5+a6=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 4。令 b1=a1+a2=a11+q,b2=a3+a4=a1q21+q,b3=a5+a6=a1q41+q,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2易知： b1 , b2, b3 成等比数列, b3= 2b136 2=324=4,即 a5+a6=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

30、结【变式 5】等比数列 an 【答案】 448。中,如 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 是等比数列, a4+a5+a6=a1+a2+a3q3, q3=8,a7+a8+a9=a4+a5+a6q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列,如前两项不变,第三项减去32,就成等差数列 .如再将此等差数列的其次项减去 4,就又成等比数列 .求原先的三个数 .思路点拨： 恰当的设元是顺当解方程组的前提 .考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式 .解析：法一：

31、 设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d.就 a-d, a, a+d+32成等比数列, a-d, a-4, a+d成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2aa42d a ad d a32. .1d .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由2得 a= d168.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1得 32a=d2+32d4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3代4消 a,解得 d8 或 d=8.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

32、下载精品名师归纳总结当 d8 时, a326 。当 d=8 时,a=109可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原先三个数为2 , 26 , 338 或 2,10,50.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结999法二： 设原先三个数为 a, aq, aq2,就 a, aq,aq2-32 成等差数列, a, aq-4, aq2-32 成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 aqaaq 2232.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aq4aaq32. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由2得 a2,代入 1解得 q=5 或 q=13q4当 q=5 时 a=2。当 q=13 时a2 .9可编辑资料 - - - 欢迎