高中数学选修-知识点 3.docx

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1、精品名师归纳总结高中数学选修 4-5 学问点1不等式的基本性质1. 实数大小的比较(1) 数轴上的点与实数之间具有一一对应关系(2) 设 a、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点 A 在点B 的左边时， ab(3) 两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系不等式的意义 ab. a b0ab. a b 0ab. ab， b. bb， bc. ac。(3) 可加性： ab， c R. acb c。 4加法法就： ab， cd. a cbd。(5) 可乘性： ab， c0. acbc。ab， c0. acb0，cd0. acbd。(7) 乘方法就： ab0，nN 且 n2. an

2、bn。ab.(8) 开方法就： ab0，nN 且 n2. n n9倒数法就，即 ab0. 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 重要不等式a0，那么 ab时，等号成立2ab ab ab，当且仅当 ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 定理 2 的应用：对两个正实数 x，y，假如它们的和 S 是定值，就当且仅当xy 时，它们的积 P 取得最大值，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24最大值为 S .假如它们的积 P 是定值，就当且仅当xy 时，它们的和 S 取得最小值， 最小值为 2 P.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

3、结3. 基本不等式 abab2的几何说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图，AB 是 O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过 C 点垂直 AB 的弦假a b设 ACa，BC b，就 AB a b，O 的半径 R 2，Rt ACD Rt DCB，CD2ACBCab，CD ab，CDR.ab abC 点与 O 点重合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， CDRAB ，即 abab2，当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22.4. 几个常用的重要不等式(1) 假如 aR，那么 a20，当且仅当 a 0 时取等号。a b2(2) 假如 a，

4、 b0，那么 ab4，当且仅当 ab 时等号成立1(3) 假如 a0，那么 a a 2，当且仅当 a1 时等号成立ab(4) 假如 ab0，那么 ba2，当且仅当 a b 时等号成立3三个正数的算术 -几何平均不等式3331假如 a、b、cR ，那么 a b c 3abc，当且仅当 a b c 时，等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2定理 3假如 a、b、cR ，那么abc3 3 abca b c33abc，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 a b c 时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

5、总结3. 假如 a1，a2， anR，那么a1 a2 annna1a2an，当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 a2 an 时，等号成立即对于 n 个正数 a1，a2， an，它们的算术平均不小于它们的几何平均二 确定值不等式1. 确定值三角不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 确定值及其几何意义aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 确定值定义： |a|aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 确定值几何意义：实数 a 的确定值 |a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点O 的距离 |OA|.(3)

6、数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B 分别对应实数 x1，x2，就|AB| |x1x2|2. 确定值三角不等式(1) 定理 1：假如 a，b 是实数，就 |a b| |a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立推论 1： 假如 a， b 是实数，那么 |a|b|ab|a|b|.推论 2： 假如 a， b 是实数，那么 |a|b|ab|a|b|.(2) 定理 2： 假如 a，b，c 是实数，那么 |ac|a b|bc|，当且仅当 a bbc0 时，等号成立2确定值不等式的解法1. |x|a 型不等式的解法设 a0，就1|x |a. axa. xa。 4|x|a. x a 或 xa2.

7、 |axb|cc0与|ax b|cc0型不等式的解法1|axb| c. c axbc。2|axb| c. axb c 或 ax b c 3|xa|x b|c 与|x a| |x b| c 型不等式的解法(1) 利用确定值不等式的几何意义求解，表达数形结合思想，懂得确定值的几何意义，给确定值不等式以精确的几何说明(2) 以确定值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法” 求解，表达分类争论的思想确定各个确定值号内多项式的正、负号，进而去掉确定值号(3) 通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象 有时需要考察函数的增减性 是关键注： 确定

8、值的几何意义(1) |x|的几何意义是数轴上点x 与原点 O 的距离。(2) |x a|x b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之和。 3|x a|x b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之差 2确定值不等式的几何意义(1) |x|aa0的几何意义是以点 a 和 a 为端点的线段， |x| a 的解集是 a，a(2) |x|aa0的几何意义是数轴除去以点a 和 a 为端点的线段后剩下的两条射线， |x|a 的解集是 ， aa， 3. 解含确定值不等式的关键是去掉确定值变形为不含确定值的不等式组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求解例题：例如

9、：分类争论法：即通过合理分类去确定值后再求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1： 解不等式 x1x25 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析: 由 x10 ， x20 ，得 x1 和 x2 。 2 和1把实数集合分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成三个区间，即 x2 ， 2x1， x1，按这三个区间可去确定值，故可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按这三个区间争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 当 x-2

10、时，得x2 x1 x25，解得：3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当-2 x 1 时，得2x1,，解得：2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 x25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x1时，得x1, x1x25.， 解得： 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，原不等式的解集为x3x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：解不等式 |2x 4|3x9|2 时，原不等式可化为x2，2x4 3x 92

11、.当 3x2 时，原不等式可化为3 x2，2x 4 3x91， 6解得 5x2.当 x 3 时，原不等式可化为x3，2x 4 3x91， 解得 x 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5综上所述，原不等式的解集为x|x 6 其次讲证明不等式的基本方法一 比较法比较法主要有 1.作差比较法2.作商比较法1作差比较法 简称比差法 (1) 作差比较法的证明依据是： ab. ab0。ab. a b0。ab. ab0 时，b1. ab。b1. ab。b1. ab 时，肯定要留意 b0 这个前提条件假设 b0，a aabb，b1. a b，b1. a a2。n2nn 1可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nN*。 1 2。当 ab0，m0 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nb b m，an n1am等nn n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a mb第三讲柯西不等式与排序不等式1. 二维形式的柯西不等式假设 a，b，c，d 都是实数，就 a2 b2c2d2acbd2，当且仅当 ad bc 时，等号成立2. 柯西不等式的向量形式设 ，是两个向量， 就|，当且仅当 是零向量， 或存在实数 k，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 k时，等号成立3. 二维形式的三角不等式

13、设 x1 ，y1，x2，y2 R，那么 x2y2 x2y2x1 x22y1 y22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 二维柯西不等式的三种形式及其关系定理 1 是柯西不等式的代数形式， 定理 2 是柯西不等式的向量形式， 定理 3是柯西不等式的三角形式依据向量的意义及其坐标表示不难发觉二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示2. 懂得并记忆三种形式取 “”的条件(1) 代数形式中当且仅当adbc 时取等号(2) 向量形式中当存在实数 k，k或 0 时取等号(3) 三角形式

14、中当 P1，P2， O 三点共线且 P1， P2 在原点 O 两旁时取等号3. 把握二维柯西不等式的常用变式1a2 b2 c2d2 |ac bd|.2a2 b2c2d2|ac| |bd|.3a2 b2 c2d2 acbd. 4abcd ac bd2.4. 基本不等式与二维柯西不等式的比照(1) 基本不等式是两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式(2) 基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和或积为定值时，可求积 或和的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能， 利用二维形式的柯西不等

15、式求某些特别函数的最值特别有效二 一般形式的柯西不等式1. 三维形式的柯西不等式123123设 a1，a2， a3， b1， b2， b3 是实数，就 a2a2a2b2b2 b2a1b1a2 b2 a3b32，当且仅当 bi 0i 1， 2，3或存在一个数 k，使得 ai kbi i 1， 2， 3时，等号成立2. 一般形式的柯西不等式设 a1， a2， a3， an，b1， b2， b3， bn 是实数，就 a2 a2 a2b212n1222 b2 bn a1b1 a2b2 anbn ，当且仅当 bi 0i1，2， n或存在一个数 k，使得 ai kbii 1， 2， n时，等号成立 留意：

16、1. 对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广， 其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积， 右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 关于柯西不等式的证明：对于函数 fxa1 xb12a2x b22 an x bn2，明显 fx0 时xR 恒成立，n即 fxa21a2 a2x2 2a1b1 a2b2 anbn xb21 b2 2bn0 对 x R 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 12 22222222可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结4ab ab anbn 4a1a2 anb1 b2 bn 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a an b除以 4 得a21 2221221 12 2n n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b bn abab ab.3. 一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知0. f xmin 0. a1xb1a2x b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 anxbn0. b1b2 bn 0，或b14. 柯西不等式的几种常见变形：a2anb.b2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222

18、21设 a1a2 anb1b2 bn 1，就 1a1b1a2b2 anbn1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a12n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 aiR i1，2， 3， n，就a ana1 a2 ann。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22a1a23设 aiR，bi0i1，2，3，n，就 2a1a2 an2an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1b2a1a2bnb1 b2 bnana1a2 an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4设 aibi0i

19、1，2，3， n，就b1 b2 bna1b1 a2b2 anbn.三 排序不等式1. 乱序和、反序和、次序和设 a1 a2 an，b1b2 bn 为两组实数，c1，c2，cn 为 b1，b2， bn 的任一排列，称 a1c1a2c2 a3c3 an cn 为乱序和， a1bn a2 bn 1a3bn2 anb1 为反序和， a1b1 a2b2a3b3 an bn 为次序和2. 排序不等式 又称排序原理 设 a1 a2 an，b1b2 bn 为两组实数，c1，c2，cn 是 b1，b2， bn 的任一排列，那么a1bn a2bn 1 anb1a1c1a2c2 ancn a1b1a2b2 anbn

20、，当且仅当 a1a2 an 或 b1b2 bn 时，反序和等于次序和 3排序原理的简记反序和乱序和次序和第四讲用数学归纳法证明不等式一 数学归纳法1. 数学归纳法的定义一般的，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的全部正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1) 证明当 nn0 时命题成立(2) 假设当 n kk N且 kn0时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以确定命题对于不小于n0 的全部正整数都成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立，这种证明方法称为数学归纳法2. 数学归纳法的适用范畴适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题3. 数学

21、归纳法的步骤1归纳奠基 验证当 nn0n0 为命题成立的起始自然数 时命题成立。2归纳递推 假设当 nkkN，且 kn0 时命题成立，推导nk1 时命题也成立(3) 结论：由 12可知，命题对一切 nn0 的自然数都成立留意：用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不行少， 归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”，因此必需留意以下三点：(1) 验证是基础数学归纳法的原理说明：第一个步骤是要找一个数n0，这个 n0 就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不肯定就是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法要留意的第一个问题(2) 递推是关键数学归纳法的实质在于递推，

22、所以从 “k”到“ k 1”的过程，必需把归纳假设“ nk”时命题成立作为条件来导出“ nk1”时命题成立， 在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次，没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法(3) 正确寻求递推关系数学归纳法的其次步递推是至关重要的，那么如何查找递推关系了？在第一步验证时，不妨多运算几项，并正确写出来，这样对发觉递推关系是有帮忙的。探求数列的通项公式时，要善于观看式子或命题的变化规律，观看 n 处在哪个位置。在书写fk 1时，肯定要把包含fk 的式子写出来，特别是fk中的最终一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项 都要分析清晰二 用数学归纳法证明不等式举例1数学归纳法证明不等式(1

23、) 用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当 n 取第一个值 n0 时结论成立。假设当 nkkN，且 kn0时结论成立，证明当 nk 1 时结论也成立由可知命题对从 n0 开头的全部正整数 n 都成立(2) 用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在其次步 同时也是难点所在 ，即假设fkgk成立，证明 f k1gk1成立 2贝努利不等式(1) 定义：假如 x 是实数，且 x 1，x 0， n 为大于 1 的自然数，那么有 1xn1nx(2) 作用：在数学争论中常常用贝努利不等式把二项式的乘方1 xn 缩小为简洁的 1 nx 的形式，这在数值估量和放缩法证明不等式中

24、有重要应用例如：1x1当 x 是实数， 且 x1，x 0 时，由贝努利不等式不难得到不等式1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 nx对一切不小于 2 的正整数 n 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x(3) 贝努利不等式的一般形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 是实数，并且满意 1 或 1。2当 是实数，并且满意 013归纳猜想 证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常表达在“归纳 猜想 证明” 这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论。 更重要的是，要用不完全归纳法去发觉某些结论、规律并用数

25、学归纳法证明其正确性，形成“观看 归纳猜想证明”的思想方法1. 关于用数学归纳法证明不等式的四点留意(1) 在从 nk 到 nk1 的过程中，应分析清晰不等式两端 一般是左端 项数的变化，也就是要认清不等式的结构特点(2) 瞄准当 nk 1 时的递推目标， 从中别离出 nk 时的相应式子， 借助不等式性质用上归纳假设(3) 明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明(4) 有些不等式先用分析法转化为另一个较为简洁的不等式然后再用数学归纳法证明2. 关于贝努利不等式n11x 1nx 成立的两个条件： nN且 n2。x 的取值范畴是 x 1 且 x0.于是有命题：当nN且 n2 时不等式 1xn1 nx 对一切 x 1， 0 0， 恒成立2常用特例：当 x 1 且 x0 时， 1x21 2x。当 x 1 且 x0 时， 1x313x. 3重要结论1当 n 5 时， n22n.2当 nN时， |sin n|n|sin |.可编辑资料 - - - 欢迎下载