2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)(文科).doc

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则AB()A(1，3)B(1，4)C(2，3) D(2，4)2若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1iB1iC1i D1i3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbc0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实

2、根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m06.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A BC D7在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A

3、. B.C. D.8若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1，0)C(0，1) D(1，)9已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C2 D410设函数f(x)若f4，则b()A1 B.C. D.第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是_12若x，y满足约束条件则zx3y的最大值为_13过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_14定义运算“”：xy(x，yR，x

4、y0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_15过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学

5、中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率17(本小题满分12分)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2，求sin A和c的值18(本小题满分12分)如图，三棱台DEF ABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.19(本小题满分12分)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.20(本小题满分13分)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(

6、x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值21(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值参考答案与详解本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分

7、，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选C由题意知Bx|1x3，又因为Ax|2x4，所以ABx|2x3，即(2，3)2解析：选A由已知得zi(1i)1i，则z1i，故选A.3解析：选C因为函数y0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba1.因为函数yx0.6在(0，)上是增函数，110.61，即c1.综上，ba0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”故选D.6.解析：选B法一：x甲29，x乙30，x甲s乙故可判断结论正确法二：甲地该月1

8、4时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论正确，故选B.7解析：选A不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.8解析：选C因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即.化简可得a1，则3，即30，即0，故不等式可化为0，即12x2，解得0x1，故选C.9 解析：选B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V2.10解析：选Df3bb，若b，则3b4

9、b4，解得b，不符合题意，舍去；若b1，即b，则2b4，解得b.第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11解析：当x1时，12，则x112；当x2时，不满足x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立答案：15 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案：2三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16解：(

10、1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率

11、为P.17解：在ABC中，由cos B，得sin B，因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可得C为锐角，所以cos C，因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c.又ac2，所以c1.18证明：(1)法一：如图，连接DG，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，

12、可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.19解：(1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a3

13、15.由解得a11，d2，所以an2n1.经检验，符合题意(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1，所以Tn4n1.20解：(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2.又f(x)ln x1，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 8110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，

14、2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以当k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0，1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知0m(x)m(x0)；故m(x)m(x0)当x(x0，)时，由m(x)，可得x(x0，2)时，m(x)0，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2

15、)综上可得，函数m(x)的最大值为.21解：(1)由题意知1.又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知，椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，.由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.()则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.()由()()可知0t1，因此S22.故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.