高中数学必修立体几何专题二面角典型例题解法总结.docx

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1、精品名师归纳总结一、 定义法：二面角的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题供应了添帮助线的一种规律。如例1 中从二面角S AM B 中半平面 ABM上的一已知点（ B ）向棱 AM 作垂线,得垂足（F）。在另一半平面 ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如 GF ）, 这两条垂线（ BF、GF）便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直

2、角三角函数、正弦定理与余弦定懂得题。例 1 如图,四棱锥SABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD底面 ABCD , AD2DCSD2 ,点 M 在侧棱 SC 上,ABM =60 （ I）证明： M 在侧棱 SC 的中点（ II ）求二面角 SAMB 的大小。证（ I）略解（ II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点 B 作 BFAM 交 AM 于点 F ,就点 F 为AM 的中点,过 F 点在平面 ASM 内作 GFAM , GF 交 AS 于 G,连结 AC , ADC ADS, AS-AC,且 M是 SC的中点, AMSC, GF AM, GF AS,又 F 为 AM

3、的中点,GF GF是 AMS的中位线,点G是 AS的中点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就GFB 即为所求二面角 . SM2 ,就 GF2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 SAAC6 , AM2 , AMAB2 ,ABM600 ABM 是等边三角形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BF3。在 GAB 中, AG6 , AB22 ,GAB900 , BG341122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品名师归纳总结cosBFGGF 2FB2BG 213112226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2GFFB22363G2F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角 SAMB 的大小为6arccos3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1 如图, 已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA平面 ABCD ,PC 的中点 .（）证明： AE PD ;（）如 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为6 ,求二面角 EAFC 的余弦值 .2ABC60,E,F 分

5、别是 BC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 ：第 1 题简单发觉,可通过证AE AD后推出 AE平面 APD,使命题获证,而第2 题,就第一必需在找到最大角正切值有关的线段运算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可运算二面角的平面角的顶点S,和两边 SE 与 SC,进而运算二面角的余弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答案： 二面角的余弦值为15 ）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上就通常

6、用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦供应了另一种添帮助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线,得垂足 O。再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线,得垂足 P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB 、垂线 BO 、射影 OP）。再解直角三角形求二面角的度数。例 2如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB/CD ,AB=4, BC=CD=2,AA 1 =2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E、 E1 、F 分别是棱

7、AD 、AA 1 、AB 的中点。（ 1） 证明：直线 EE 1 /平面 FCC 1 。D1C1A 1B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。E1A证（ 1）略解（ 2 ）由于AB=4,BC=CD=2,、 F 是棱 AB的中点 ,所以A 1BF=BC=CF, BCF 为正三角形 ,取 CF 的中点 O,就 OBCF,又因为直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1平面 ABCD, 所以 CC 1E1DCEFBD 1C1F1B 1PDC可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品名师归纳总结BO, 所以 OB 平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP CO1F,垂足为EAFB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P,连接 BP,就 OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角 , 在 BCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为正三角形中 , OB3 ,在 Rt CC 1F 中 , OPF CC 1F,OPOFCC1C1F OP122 ,22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt OPF中 ,BPOP2OB21314, cos22OPOPB7, 所 以 二 面 角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

9、师归纳总结22BP1472可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7B-FC 1 -C 的余弦值为.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2 如图,在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 是矩形已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB3, AD2, PA2, PD2 2 ,PAB60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明 AD平面 PAB 。（）求异面直线PC 与 AD 所成的角的大小。（）求二面角 PBDA 的大小分析 ：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD 平面

10、PAB 后,简单发觉平面PAB 平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点P 作棱 BD的垂线,再作平面ABCD的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而可得本解法。（答案：二面角PBDA 的大小为 arctan39 ）4P三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线（称为补棱）,然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决例 3 如下列图,四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,D BCD 60, E 是 CD 的中点

11、, PA底面 ABCD , PA 2.E（）证明：平面PBE平面 PAB;C（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.ABP分析： 此题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线, 依本法明显要补充完整 （延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略G解: （）延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.过点 A 作 AHPB 于 H ,由（）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.F在 RtABF 中,由于 BAF 60,HDE所以, AF=2AB=2=AP.C在等腰 Rt PAF 中

12、,取 PF 的中点 G,连接 AG.A就 AGPF.连结 HG ,由三垂线定理的逆定理得,B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF HG .所以 AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在等腰 Rt PAF 中, AG2 PA2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtPAB 中, AHAP ABAP AB22 5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PBAP2AB255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,在 Rt AHG 中,sin25AGHAH5AG210 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是arcsin10 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1练习 3 已知斜三棱柱 ABC A 1B 1C1 的棱长都是a,侧棱与底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面成 600 的角,侧面 BCC（ 1）求证： AC 1 BC 。1B1底面 ABC 。C1B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求平面 AB 1C1 与平面 ABC

14、所成的二面角（锐角）的大小。AL提示：此题需要补棱,可过A 点作 CB 的平行线 LCB（答案：所成的二面角为45O）s射影四、射影面积法（cosq =）S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影S射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积公式（ cos）求出二面角的大小。S斜P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4如图,在三棱锥 PABC 中,APBPAB , PCAC （）求证：PCAB 。（）求二面角 BAPC 的大小。ACBC2 ,ACB90 ,ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题要求

15、二面角B AP C 的大小,假如利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与 S 射P于是得到下面解法。解：（）证略E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）ACBC , APBP , 又 PCAC ,PCBC APC BPC AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又ACB90 ,即 ACBC ,且 ACPCC ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BE, CE ABBP ,BEAP EC 是 BE 在平面

16、PAC 内的射影,CEAP ACE是 ABE在平面 ACP 内的射影,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是可求得：ABBPAPAC 2CB222 , BEAB 2AE 26 , AEEC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 S射S ACE1 AECE122221 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S原SABE1 AEEB1263DC22SAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设二面角 BAPC 的大小为,就cos射13ES原33D1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二

17、面角 BAPC 的大小为arccos33A 1B1图 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 4： 如图 5, E 为正方体 ABCD A 1B 1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB 1E 和底面 A 1B 1C1D 1 所成锐角的余弦值 .分析平面 AB 1E 与底面 A 1B1C1D 1 交线即二面角的棱没有给出,要找到二面角的平面角, 就必需先作两个平面的交线,这给解题带来肯定的难度。考虑到三角形AB 1E 在平面 A 1B 1C1D1 上的射影是三角形A 1B 1C1,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

18、结（答案：所求二面角的余弦值为cos=五、向量法2 ） .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量法解立体几何中是一种特别简捷的也是特别传统的解法,可以说全部的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量运算解题。例 4 ：如图,在五面体ABCDEF中, FA平面 ABCD,AD/BC/FE , ABAD , M为 EC 的中点,1AF=AB=BC=FE=AD2(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小。(II) 证明平面 AMD平面 CDE 。 求二面角 A-CD-E

19、的余弦值。现在我们用向量法解答：如下列图,建立空间直角坐标系,以点A 为坐标原点。设AB1,依题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 1,0,0 ,C1,1,0 ,D 0,2,0 ,E 0,1,1 ,F 0,0,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M,1 1 1 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I） 解：BF1,0,1 , DE0, 1,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 cosBF,DEBFDE BF DE0011 .222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以异面直线BF 与 DE 所成的角的大小为60 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）证明：由AM1 1 1CE1,0,1 , AD0,2,0 ,可得 CEAM0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CEAD0.因此, CEAM ,CEAD.又AMADA,故CE平面AMD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而CE平面 CDE

21、 ,所以平面AMD平面 CDE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ III ） 解：设平面CDE的法向量为 uuCE0, x,y,z,就uDE0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x z0,于是令xy z0.1,可得 u1,1,1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v0,0,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 5、如图,在直三棱柱（）求证： ABBC 。ABCA1B1C1 中,平面 ABC侧

22、面A1ABB1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如直线 AC 与平面A1BC 所成的角为,二面角 A1BCA 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大小为,试判定与的大小关系,并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1平面 BCC1 B1平面 ABC于是很简单想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答案：arcsina,且aca, ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2c2ba 2c2a2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总之,上述五种二面角求法中,前三种方法可以说是三种增加帮助线的一般规律,后两种是两种不同的解题技巧,考生可挑选使用。可编辑资料 - - - 欢迎下载