十堰市中考满分作文-《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题参考答案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -以下资源由江阴市山观中学王丙诚收集与整理中国训练学会中学数学教学专业委员会 “数学周报杯”2021 年全国中学数学竞赛试题参考答案一、挑选题（共 5 小题， 每道题 7 分，共 35 分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如 a20， b10 ，就 ab 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bc（A） ） 1121bc（B） ） 2111（ C） 11021（D） 21011

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： D由题设得aabb1201210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bc1c b111110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如实数 a， b 满意1 aabb2 22 0 ，就 a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A ）a2（ B） a 4（C） a2 或 a4（D）2 a4解C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 b 是实数，所以关于b 的一元二次方程 b21aba202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的判别式 a 2411 a22 0,

3、解得 a2 或 a 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如图， 在四边形 ABCD 中，B135，C 120，AB = 23 ，BC= 422 ，CD 42 ，就 AD 边的长为（）（ A ） 26（B） 46可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（C） ） 46解： D（D） 226（第 3 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图，过点 A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线 BC， 垂足分别为 E，F由已知可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE=AE=6 ，CF 22 ，DF 26 ，于是 EF46 （第 3 题）可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结过点 A 作 AG DF，垂足为 G在 RtADG 中，依据勾股定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AD466224 226 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224在一列数x1， x2， x3

5、，中， 已知 x11，且当 k 2 时， xkxk 114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（取整符号a 表示不超过实数a 的最大整数，例如2.62 ，0.20 ），就x2021 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）A 1B 2C 3D 4解： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 x1k11 和 xkxk 114k2可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44x11 ， x22 ， x33 ， x44 ，x51 ， x62 ， x73 ， x84 ，由于 2021=450

6、2+2，所以 x2021 =25如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A（ 1， 1），B（ 2， 1）， C（ 2， 1），D（ 1，1） y 轴上一点P（ 0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180 得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4，重复操作依次得到点P1，P2， ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就点 P2021 的坐标是（）（ A ）（ 2021，2） （B）（2021，2 ）（ C）（ 2021，2 ）（D）（0，2）（第 5 题）可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： B 由已知可以得到，点P1 ，P2 的坐标分别为（ 2，0），（2，2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记 P（2a2，b2 ，其中 a22, b22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据对称关系，依次可以求得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P3 4a2， 2 b2 ， P4 2a2 ，4b2 ， P5 a2 ， 2b2 ， P6 4a2 ，b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 P6 a6 ,b2 ，同样可以求得，点 P10 的坐标为（ 4a6 ,b2 ），即 P10（ 42a2 ,b2 ），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 2021=4502+2，所以点 P2021 的坐标为（ 2021，2 ）二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6已知 a5 1，就

9、 2a3 7a2 2a 12 的值等于解： 0由已知得a12 5，所以 a22a 4，于是 2a3 7a2 2a122a34a23a22a 123a26a12 07一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的大路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10 分钟，小轿车追上了货车。又过了5 分钟，小轿车追上了客车。再过t 分钟，货车追上了客车，就t解： 15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 a， b，c （千米 /分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得10 abS ，15 ac2S ，xbcS可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由，得 30（ bc）S ，所以，x=30故 t3010515（分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8如图， 在平面直角坐标系xOy 中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是O（ 0，0），A（ 0，6）， B（ 4， 6）， C（ 4， 4）， D（ 6， 4）， E（ 6， 0）如直线l 经过点 M （ 2， 3），且将多边形 OABCDE分割成面积相等的两部分，就直线l 的函数表达式是（第 8 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111解： yx+33（第 8 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图

11、，延长 BC 交 x 轴于点 F。连接 OB，AF 。连接 CE，DF ，且相交于点 N 由已知得点 M（2，3）是 OB， AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分 又由于点 N（5，2）是矩形 CDEF的中心，所以，过点 N（5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

12、 - - - - - - - -于是，直线 MN 即为所求的直线 l 设直线 l 的函数表达式为 ykxb ，就2k +b3，5kb2，k1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得3,故所求直线 l 的函数表达式为y1 x+ 11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b11 .3339如图，射线AM ， BN 都垂直于线段AB ，点 E 为 AM 上一点，过点A 作 BE 的垂线 AC分别交BE ，BN于点F ， C，过点C 作 AM的垂线CD，垂足为D如 CD CF ，就AEAD解：512可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结见题图，设FCm,AFn （

13、第 9 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 RtAFBRt ABC，所以AB 2AFAC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于FC DC AB，所以m2n nm，即 n 2n10 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 nm51 ，或 n2mmm51 （舍去）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 Rt AFE Rt CFB ，所以 AEAEAFn51 ，即 AE=51 可编辑资料

14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADBCFCm2AD210对于i=2， 3， k ，正整数n 除以i所得的余数为i 1如 n 的最小值n0 满意2000n03000 ，就正整数k 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 9由于 n1为 2，3，L， k 的倍数，所以n 的最小值n0 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n012，3，L ， k ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中2，3，L ， k表示 2，3，L， k 的最小公倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于2，3，L，8840，2，3，L，92520，可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，3，L，102520，2，3，L，1127720，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此满意2000n03000 的正整数 k 的最小值为9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11如

16、图， ABC 为等腰三角形，AP 是底边 BC 上的高，点D 是线段 PC 上的一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE 和 CF 分别是 ABD 和 ACD 的外接圆直径，连接EF .求证：tanPADEF BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（第 11 题）证明： 如图，连接 ED，FD . 由于 BE 和 CF 都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是直径，所以ED BC，FD BC，因此 D，E，F 三点共线 .（ 5 分）连接 AE， AF，就AEFABCACBAFD ，所以， ABC AEF.（ 10 分）（第 11 题）可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 AH EF，垂足为 H ，就 AH=PD.由 ABC AEF 可得）EFAH，BCAP从而EFPD ，BCAP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以tanPADPDEFAPBC.（ 20 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结12如图，抛物线yax2bx （ a0）与双曲线yk相交于点A， B. 已知点 A 的坐标x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为（ 1，4），点 B 在第三象限内，且AOB 的面积为3（ O 为坐标原点） .（ 1）求实数a， b， k 的值。（ 2）过抛物线上点A 作直线 AC x 轴，交抛物线于另一点 C，求全部满意EOC AOB 的点 E 的坐标 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由于点A（1， 4）在双曲线yk 上，x（第 12 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 k= 4. 故双曲线的函数表

19、达式为4y4 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 B（ t，4mn，）， tt0 ， AB 所在直线的函数表达式为ymxn ，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4解得mtn，tm， n.tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是，直线AB 与 y 轴的交点坐标为0,4t1，故t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S AOB1（4 t2t1）1t3 ，整理得2t23t20 ，可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 t2 ，或 t1 （舍去）所以点B 的坐标为（2 ，2 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于点 A，B 都在抛物线yax2bx （a0）上，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab4，a1，解得（ 10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a2b2，b3.（ 2）如图，由于AC x 轴，所以 C（4 ，4），于是 CO42 . 又 BO=22 ，所以 CO2 .BO可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品名师归纳总结设抛物线2yaxbx（a0）与 x 轴负半轴相交于点D ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就点 D 的坐标为（3， 0） .由于 COD BOD 45 ，所以 COB = 90 .（ i）将 BOA绕点 O 顺时针旋转90 ，得到（第 12 题）B OA1 .这时，点 B 2 ， 2是 CO 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中点，点A1 的坐标为（ 4，1） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结延长 OA1 到点E1 ，使得OE1 = 2OA1 ，这时点E1 （ 8，2 ）是符合条件的点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）作 BOA关于 x 轴的对称图形B OA2 ，得到点A2（1， 4 ）。延长OA2 到点E2 ，可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得 OE2 2OA2 ，这时点E（ 2，8 ）是符合条件的点所以，点 E 的坐标是（ 8，2），或（ 2，8 ） .（ 20 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13求满意2 p 2p8m22m 的全部素数 p 和正整数 m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由题设得p2 p1m4 m2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 p m4m2 ，由于 p 是素数，故p m4 ， 或 p m2 .（ 5 分

24、）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 p m4 ，令 m4kp ， k 是正整数，于是m2kp ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 p2p2 p1) m4 m2k 2 p2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 k23 ，从而 k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m4p，所以p5，解得（ 10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m22 p1，m9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如

25、 p m2) ，令 m2kp ， k 是正整数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 p5 时，有 m4kp6kppp k1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 p 2p 2 p1m4 m2k k1 p 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 kk1) 3 ，从而 k1 ，或 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 p2 p1) m4

26、m2) 是奇数，所以k2 ，从而 k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m42 p1，于是m2p，这不行能 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 p5 时，m22m63 ， m9 。当 p3 ， m22m29 ，无正整数解。当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p2 时， m22m18 ，无正整数解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - -

27、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.（ 20 分）14从 1，2，2021 这 2021 个正整数中， 最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33 整除？解： 第一，如下61 个数： 11， 1133 ， 11233 ， 116033 （即 1991）满意题设条件 .（ 5 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面，设a1a2Lan 是从 1，2， 2021 中取出的满意题设条件的数，对于可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这 n 个数中的任意4 个数ai， a j， ak， am ，由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 aiakam ，33 a jakam ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以33 a jai .因此，所取的数中任意两数之差都是33 的倍数 .（ 10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 aia133di ， i =1， 2， 3， n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结由 33 a1a2a3 ，得33 3a133d233d3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 33 3a1 ， 11 a1 ，即 a1 11.（ 15 分 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dana1n20211161 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3333故 dn 60.所以， n 61.综上所述， n 的最大值为61.（ 20 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载