2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第7章 第4节　垂直关系 .doc

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1、第四节垂直关系考纲传真(教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题(对应学生用书第114页)基础知识填充1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角(2)二面角的平面角

2、：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角(3)范围：0，3平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l知识拓展1.如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面2直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线3垂直于同一条直线的两平面平行基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的

3、打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确3(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmnCl，l.n，nl.4如图741，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中

4、与B1O垂直的是()图741AA1DBAA1CA1D1DA1C1D易知AC平面BB1D1D.A1C1AC，A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O，故选D.5如图742，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_图7424PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC因此ABC，PBC也是直角三角形(对应学生用书第115页)线面垂直的判定与性质 (2018合肥一检)如图743，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，ABC60，点E，F分别为BC，PD

5、的中点，PAAB2.图743(1)证明：AE平面PAD；(2)求多面体PAECF的体积解(1)证明：由PA底面ABCD得PAAE.底面ABCD为菱形，ABC60，得ABC为等边三角形，又因为E为BC的中点，得AEBC，所以AEAD.因为PAADA，所以AE平面PAD.(2)令多面体PAECF的体积为V，则VV三棱锥PAECV三棱锥CPAF.V三棱锥PAECPA 2；V三棱锥CPAFAE ，所以多面体PAECF的体积为V.规律方法证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理.(2)利用判定定理的推论(ab，ab).(3)利用面面平行的性质(a，a).(4)利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时，

6、在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.(5)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.跟踪训练如图744所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.图744求证：PACD. 【导学号：79140234】证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtACB中，由ACBC，得ABC30.设AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所

7、以PACD.平面与平面垂直的判定与性质(2017全国卷)如图745，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.图745(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADP

8、Ex3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.规律方法1.面面垂直的两种证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决2三种垂直关系的转化跟踪训练(2018云南二检)如图746已知三棱锥PABC中，ACBC，ACBC2，PAPBPC3，O是AB的中点，E是PB的中点图746(1)证明：

9、平面PAB平面ABC；(2)求点B到平面OEC的距离解(1)证明：连接PO，在PAB中，PAPB，O是AB的中点，POAB.ACBC2，ACBC，AB2，OBOC.PAPBPC3，PO，PC2PO2OC2.POOC又ABCOO，AB平面ABC，OC平面ABC，PO平面ABCPO平面PAB，平面PAB平面ABC(2)OE是PAB的中位线，OE.O是AB中点，ACBC，OCAB.又平面PAB平面ABC，两平面的交线为AB，OC平面PAB.OE平面PAB，OCOE.设点B到平面OEC的距离变d，V三棱锥BOECV三棱锥EOBC，SOECdSOBCOP.d.平行与垂直的综合问题角度1平行与垂直关系的证

10、明(2016江苏高考)如图747，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.图747求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A

11、1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.角度2平行与垂直关系中的探索性问题(2018兰州实战模拟)如图748所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.图748(1)求证：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存

12、在，请说明理由. 【导学号：79140235】解(1)证明：连接BD交AC于点O，则BDAC设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MNBD，连接FM，GN，则FMGN，且FMGN，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因为ACAEA，所以FG平面ACE.所以平面CFG平面ACE.(2)存在设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连接EQ，CQ，取CO的中点为H，连接EH，则CHEQ，CHEQ，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一点H，使得EH平面CFG，且CH.规律方法平行与垂直的综合

13、应用问题的主要数学思想和处理策略(1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.(2)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识找点.跟踪训练(2018郑州第二次质量预测)如图749，高为1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M为AB的三等分点现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB，AC图749(1)在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC，请说明理由；(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离解(1)当APAB时，有AD平面MPC理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP.在梯形MBCD中，DCMB，.在ADB中，ADPN.AD平面MPC，PN平面MPC，AD平面MPC(2)平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，由题易知，在AMD中，AMDM，AM平面MBCD，又P为AB中点，V三棱锥PMBCSMBC21.在MPC中，MPAB，MC，PC，SMPC.点B到平面MPC的距离为.