2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练：58 不等式的证明 .doc

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1、课时分层训练(五十八)不等式的证明(对应学生用书第310页)1(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|. 【导学号：00090382】解(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.5分(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.10分2已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为A(1)求a的值；(2)若p，q

2、，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.4分(2)证明：法一：由(1)知pqr3，且p，q，r大于0，(pqr)29.又易知p2q2r2pqprqr.8分故9(pqr)2p2q2r22pq2pr2qr3(p2q2r2)，因此，p2q2r23.10分法二：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，故p2q2r23.10分3(2015湖南高考)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b

3、2b0，b0，得ab1.2分(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.5分(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立.2分故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.5分(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.10分5(2017石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2

4、)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2aB解(1)f(x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当0x1时取等号，f(x)|x|x1|的最小值为1.3分要使f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则m的最大值M2.5分(2)证明：由(1)知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则(ab)2aB8分由知，1.故ab2aB10分6(2018莆田模拟)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b) 【导学号：00090383】解(1)当x1时，原不等式可化为x12x2，解得x1；2分当1x时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无解；当x时，原不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1.5分(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，6分所以，要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，8分即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立.10分