方程、方程组及不等式、不等式组.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载年级初三学科数学版本人教版内容标题方程、方程组及不等式、不等式组编稿老师马丽娜【本讲训练信息 】一. 教学内容：方程、方程组及不等式、不等式组学习目标：1. 把握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用。能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简洁应用。2. 类比方程（组）的学问点，把握不等式（组）的学问点。二. 重点、难点1. 方程的有关概念，同解原理2. 方程的分类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代 数 方 程有 理 方 程一 元 一 次 方 程整 式 方 程一 元

2、 二 次 方 程分 式 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结无 理 方 程3. 一元一次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 axb0， a0 ， a 一次项系数，b 常数项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求根公式：x4. 一元二次方程b唯独实根a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ax 2bxc0， a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 二次项系数。b 一次项系数。c 常数项根的判别式：b24ac0有 两 个 不 等

3、 实 根0有 两 个 相 等 实 根0无 实 根当0 时，求根公式bb24 acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1,2， 即2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法当0 时，根 x1 ，x2 与系数 a、b、

4、 c 关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12xxb a， x xc a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12构造以 x1， x2 为根的方程有很多个，构造以1 为二次项系数的2x x1x2 xx1 x205. 分式方程定义。解法：分式化整式，留意验根。解的个数6. 方程组的有关概念7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组解法思路：消元、降次方法：代入法、加减法8. 解的情形：个数9. 不等式的概念：axb0 ， a0 或 axb0， a010. 不等式的基本性质及同解原理11. 不等式的解集及解法，解的个数12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集1

5、3. 留意类比的方法14. 肯定值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】例 1. 已知关于x 的方程 4 xm求 m 的值。2x2m 与 2 3x m4m3m2 x1) 的解相同，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 4 xm2 x2m 的解为 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23x4m3m2 x1) 的解为 x5m24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个方程的解相同，m23m5m224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 如要求x的值是多少

6、，不必将m 2 代入原方程，只需代入x3m 或2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5m42 ，得 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 解以下方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x1（ 1）22 x536x714可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）0.10.2x10.30.070.1x 0.04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑

7、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载解：（ 1）方程两边同乘12，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 2x142 x536x712可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结去括号，得 12 x68x2018x2112移项，得 12 x8x18x2112620合并同类项，得14x7x12说明： 解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程axba0 ，再求解。（ 2）利用公式的基本性质，原方程化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x31

8、710x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结去分母，得 48 xx2922122130x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 留意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。例 3. 解以下方程21（ 1） 2x4 x1x22x2211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 6 x x225xx38011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）设 x2 x22y ，就2x2 x2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原方程可化为2 x12x24x22 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 2 y3

9、0 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理，得 2 y 23y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 y11， y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x 22x21时， x 22x10x1x212123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x2x2时， x22 x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ，此方程无实根经检验， x1 是原方程的根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -

10、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 x1xy ，就 x21x2y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原方程化为 6 y22) 5y380可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 6 y 25y105005可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 y1， y23102110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y1时， x3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

11、整理得 3x 2解得 x1510x301，x23315可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y2时， x2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 2x 21解得 x325x20，x42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经检验， x1 ，x3，x1 ，x2 都是原方程的根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 4. 不解方程，判定关于x 的方程 x22 xk k3 的根的情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 原方程整理为x 22xk 22k30可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 24 k 22 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44 k 244 k2 k12 1 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 kk121 240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 k1 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 k1 240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即0 ，故原方程没有实数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. m 为何值时，方程 m1 x22mxm30 （ 1）无实根。（ 2）有实根。（ 3）只可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品名师归纳总结有一个实根。 （ 4）有两个实根。 （ 5）有两个不等实根。 （ 6）有两个相等实根。解：（ 1）分两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 m 1 时，方程为2x40 ，它有一个实根，不符合题意，舍去。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m1时，4m24m1 m38m12可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需0 ，即8m120，m3时无实根2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）分两种情形，当m10m1时，即30m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m3 且 m1时方程有两个实根 2当 m 1 时，方程为2x40 有一个实根综上所述，即m3 时，方程有实根2（ 3）当 m 1 时，方程为一元一次方程，只有一个实根m108m120m108m120m108m1203可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）当（ 5）当（

15、 6）当，即 m，即 m，即 m且 m1时，方程有两个实根23 且 m1时，方程有两个不等实根23时方程有两个相等实根2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 肯定要留意审题，区分题目的不同问法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 6. 已知关于x 的一元二次方程m21 x2m1 x10 （ m 为实数）的两个实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数根的倒数和大于零，求m 的取值范畴。m210102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由题意知，应满意2 m1x1x223m11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x

16、224m11105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由 知： m1由得：x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2m1 2 4 m21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 m24mm544 m14m2450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、名师归纳总结把、 代入 ，得：2m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x1x2m212m10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x1 x21m21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m121综上所述2m5 ，且 m14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 解决这类题目， 经常需要列出五个条件。在此题中， 式由于是一元二次方程，故二次项系数m210 。 式由于有两个实数根，故0 。、为一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根与系数的两个关系式。 是此题关于一元二次方程两实根的特殊条件110 。这可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2五个条件综合起来，此题方可解出。所以同学在审题时肯定要仔细分析题目中的每个词语，不要遗漏条件，特殊要留意挖掘隐含条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. （ 1）设 x ，x是关于 x 的方程 x2kx20的两个根， 求证： 11k0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假如关于x 的方程 x2kx20及方程 x 2x2k0 均有实数根，问方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2kx20与方程 x 2x2k0是否有相同的根？如有，

19、恳求出这个相同的根。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有，请说明理由。证明：（ 1）由题意，得k 280x1x2k x1 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11kx1x2kkk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x22x1 x2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即原等式成立。2（ 2）解：设方程xx2k0 与方程 x2kx20 有相同的实数根a，就可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共

20、 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载a 2a2 k0a 2ka20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ka2a2k0 ，变形为 a k12k10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a2 k10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 k10 ，就 k1，代入方程x 2kx20 及 x 2x2k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两方程均为x 2

21、x20 ，70 ，无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1，即 k10就 a20 ，即 a2两个方程有相同的实数根2 。说明： 第（ 2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，留意分类争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8. 已知：x1、 x2是关于 x 的方程 4 x23m5 x6m20 的两个实根， 且 | x1 |3 ，x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 m 的值。解： 由一元二次方程根与系数的关系，有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx3m5，x x3 m2可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品名师归纳总结421212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x13|，x ， x均不为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22x1 x23 m22120 ，即 x1， x2 异号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x10，取 x13x2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 x13k， x22k ，就3k 3k2k 2k 3m543 m22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k3m54m23m5m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2， 2444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3m

23、524m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载整理得 m26m50m11， m25将 m1和 m5 分别代入中，符合0m11， m25反思：通过此题的分析及解题过程，应留意以下几点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1（ 1）由 |3x1去掉肯定值符号时，肯定要

24、考虑的正、负。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求 m 的过程中，通过设参数较为简便，也可利用x1x2 的关系代入去求。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）求出 m 的值后，仍应代入b 24ac 去检验是否符合0 。例 9. 解方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x24xy4 y 2x2y201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x2 y1102解法一：（用代入法）113x由得： y32把代入 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x24x11

25、3x24113x 22x2113x202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理，得 4x 221x270可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3，x94把 x3 代入 ，得 y1把 x9 代入 ，得 y17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4原方程组的解为8x9，x1324yy111728可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：（用因式分解法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程 可化为 x2 y 2x2 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 x2 y2 x2y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

26、师归纳总结x2y20 或 x2 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载原方程组可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 y3x2 y20x2 y和1103x2 yx910110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1324分别解得，yy111728说明： 此题为 I 型二元二次方程组，一般

27、可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，肯定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10. 解方程组22x2 xyy41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x25xy3y 202解： 由得： xy24xy2 或 xy2由，得 2xy x3y02xy0 或 x3y0原方程组化为以下四个方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy2xy，2xy，2xy2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xy0x3y02xy0x3y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原方程组的解为：可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12y1433x22x32x42yy1y3412422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 此题为 II 型二元二次方程组，要留意依据方程的特点，挑选恰当的方法去解。例 11. 解以下方程组：x2 y41（ 1）2xy212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xy（ 2）131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10xy（ 3）x1113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x72xy22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

29、名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（ 1）分析：此题是I 型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。解：方程 是 x 与 2y 的和，方程 是 x 与 2y 的积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 与 2y 是方程 z24z210 的两个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解此方程得z13， z27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

30、师归纳总结x3或2y7x72 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即原方程组的解是x13x2712y7，y322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）解：122 得： xy 225， xy5122 得：xy21， xy1可化为以下四个方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy5xy，xy1xy5xy，1xy5xy5，1xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x13x22x32x43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原方程

31、组的解为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y12y23y33y42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：（ 1）题可以看成xyaxyb特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的关系来解。x 2y 2（ 2）题是a型的二元二次方程组，另外仍有x2y 2a型的二元二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xybxyb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程组，也有简便的特殊解法。110 zx113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）解：设xyz ，那么原方程组变为5zx722可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解关于 z 和 x 的方程组，得x3x3z1 ，即11xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载