2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科): 第7章 立体几何 第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直学案 理 北师大版.doc
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1、第七节立体几何中的向量方法考纲传真(教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用(对应学生用书第122页)基础知识填充1空间位置关系的向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面,的法向量分别为n,mnmnmnmnm02.异面直线的夹
2、角已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2.当0s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s2;当s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s23直线与平面的夹角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面的夹角为,则sin |cosa,n|.4二面角(1)如图771(1),AB,CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小,图771(2)如图771(2)(3),n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos |cosn1,n2|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打
3、“”,错误的打“”)(1)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行()(2)若两平面的法向量平行,则两平面平行或重合()(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角()(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(6)两异面直线夹角的范围是,直线与平面夹角的范围是,二面角的范围是0,()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改编)设u(2,2,t),v(6,4,4)分别是平面,的法向量若,则t()A3 B4C5D6C,则uv262(4)4t0,t5.3已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)
4、,则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1,1,1)CDC设n(x,y,z)为平面ABC的法向量,则化简得xyz.故选C4直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN夹角的余弦值为()A B C DC建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设BC2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以(1,1,2),(1,0,2),故BM与AN夹角的余弦值cos .5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若ABPA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_45如图,建立空间直角坐
5、标系,设ABPA1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又CD平面PAD,CDAE,从而AE平面PCD.(0,1,0),分别是平面PAB,平面PCD的法向量,且,45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.第1课时利用空间向量证明平行与垂直(对应学生用书第123页)利用空间向量证明平行问题(2017天津高考节选)如图772,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PAAC4,AB2.图772求证:MN平面BDE.解如图,以A为原点,分
6、别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)证明:(0,2,0),(2,0,2)设n(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则即不妨设z1,可得n(1,0,1)又(1,2,1),可得n0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.规律方法(1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的
7、不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.跟踪训练如图773所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点求证:PB平面EFG.图773证明平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD,AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,
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