2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第8章第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积（考题帮.数学理） .docx

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1、第一讲空间几何体的三视图、表面积和体积题组1三视图与直观图1.2017全国卷,7,5分理 某多面体的三视图如图8-1-1所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为图8-1-1()A.10 B.12C.14 D.162.2016全国卷,6,5分理如图8-1-2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20 B.24C.28D.32图8-1-23.2016山东,5,5分理一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图8-1-3所示.则该几何体的体积为()图8-1-3

2、A.13+23 B.13+23 C.13+26 D.1+264.2015新课标全国,11,5分理圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图8-1-4所示.若该几何体的表面积为16+20,则r= ()图8-1-4A.1B.2 C.4D.85.2015北京,5,5分理某三棱锥的三视图如图8-1-5所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5 B.4+5C.2+25 D.5图8-1-56.2014新课标全国,12,5分理如图8-1-6,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()图8-1-6A

3、.62B.42 C.6D.47.2016天津,11,5分 理已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图8-1-7所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.图8-1-7题组2空间几何体的表面积8.2016全国卷,4,5分体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12 B.323 C.8 D.49.2014陕西,5,5分将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4 B.3 C.2 D.10.2013新课标全国,15,5分已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.题

4、组3空间几何体的体积11.2016全国卷,10,5分理在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4 B.92 C.6 D.32312.2016北京,6,5分理某三棱锥的三视图如图8-1-8所示,则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 D.1图8-1-813.2015山东,7,5分理在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23 B.43 C.53 D.214.2014新课标全国,7,5分正三棱柱AB

5、C-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3 B.32 C.1 D.3215.2014湖北,8,5分理数学文化题算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227 B.258 C.15750 D.35511316.2017全国卷,16,5

6、分理 如图8-1-9,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.图8-1-917.2017 山东,13, 5分理由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图8-1-10,则该几何体的体积为.图8-1-1018.2017 江苏,6,5分理 如图8-1-11,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底

7、面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.图8-1-1119.2016四川,13,5分 理 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图8-1-12所示,则该三棱锥的体积是.图8-1-1220.2015江苏,9,5分理现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.21.2014山东,13,5分理三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=

8、.22.2016江苏,17,14分理现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图8-1-13所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?图8-1-13A组基础题1.2018惠州市二调,10某三棱锥的三视图如图8-1-14所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为()图8-1-14A.32 B.327 C.64 D.6472.2018益阳市、湘潭市高三

9、调考,9如图8-1-15,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为图8-1-15()A.23 B.43 C.83 D.43.2018辽宁省五校联考,9一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图8-1-16所示,则该几何体的体积为()图8-1-16A.36 B.48 C.64 D.724.2018广东七校联考,10某一简单几何体的三视图如图8-1-17所示,该几何体的外接球的表面积是()图8-1-17A.13B.16C.25D.275.2018洛阳市高三第一次联考,10已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为()A.823B.833

10、 C.863 D.16236.2017长沙市五月模拟,4如图8-1-18是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图)()图8-1-18 A B C D7.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,9某几何体的三视图如图8-1-19所示,则该几何体的表面积是()图8-1-19A.20+45B.12+45C.20+25D.12+25B组提升题8.2018山西省名校第一次联考,5数学文化题榫卯(snmo)是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑

11、有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图8-1-20所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为()图8-1-20A.8+12 B.8+16 C. 9+12 D.9+169.2018长春市高三第一次质量监测,8数学文化题九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(如图8-1-21所示,网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为()图8-1-21A.4B.5C. 6D.1210.2018唐山市五校联考,12把一个皮球放入如图8-1-22所示的由8根长均为20 cm的铁丝

12、接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为()图8-1-22A.103 cmB.10 cmC.102 cmD.30 cm11.2017四川省重点中学高三第二次学习情况评估,10已知三棱锥P-ABC的顶点都在同一个球面上(球O),且PA=2,PB=PC=6,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是()A.316B.38 C.116 D.1812.2017兰州高考实战模拟,8某几何体的三视图如图8-1-23所示,则下列说法正确的是()图8-1-23该几何体的体积为16;该几何体为正三棱锥;该几何体的表面积为32+3;

13、该几何体外接球的表面积为3.A.B.C.D.13.2017武汉市五月模拟,15棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1,则该四面体的棱长为.14.2017云南省11校调考,16已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为28916的球面上,底面ABC是边长为3的等边三角形,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.答案1.B由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为(2+4)222=12,故选B. 2.C该几何体是圆锥与圆

14、柱的组合体,由三视图可知圆柱底面圆的半径r=2,底面圆的周长c=2r=4,圆锥的母线长l=22+(23)2=4,圆柱的高h=4,所以该几何体的表面积S=r2+ch+12cl=4+16+8=28,故选C.3.C由三视图可知,四棱锥的底面是边长为1的正方形,高为1,其体积V1=13121=13.设半球的半径为R,则2R=2,即R=22,所以半球的体积V2=1243R3=1243(22)3=26.故该几何体的体积V=V1+V2=13+26.故选C.4.B由三视图可知,此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的,其表面积为r2+2r2+4r2+2r2=20+16,所以r=2,故选B.5.C由三视图分析知

15、,该几何体是底面为等腰三角形,其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA平面ABC),如图D 8-1-3,由三视图中的数据可计算得SABC=1222=2,SSAC=1251=52,SSAB=1251=52,SSBC=1225=5,所以S表面积=2+25.故选C.图D 8-1-36.C如图D 8-1-4,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD=(42)2+22=6,故选C.图D 8-1-47.2根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m、高为1 m的平行四边形,四棱锥的高为3 m,故其体积为13213=2(m3).8.A由正方体的体积为8可知,正方体的棱长a=2

16、.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径,即2R=3a(R为正方体外接球的半径),所以R=3,故所求球的表面积S=4R2=12.故选A.9.C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S=2rh=211=2.故选C.10.92设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB=12,所以OH=13R.由勾股定理,得R2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+(13R)2,即R2=98.由球的表面积公式,得S=4R2=92.11.B由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这

17、个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R=32,该球的体积最大,Vmax=43R3=43278=92.故选B.12.A由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD,将其放在长方体中如图D 8-1-5所示,其中BD=CD=1,CDBD,三棱锥的高为1,所以三棱锥的体积为1312111=16.故选A.图D 8-1-513.C如图D 8-1-6,过点D作BC的垂线,垂足为H.则由旋转体的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1,高h1=BC=2,其体积V1=R2h1=122=2;圆锥的底面半径r=DH=1,高

18、h2=1,其体积V2=13r2h2=13121=3.故所求几何体的体积为V=V1-V2=2-3=53.故选C.图D 8-1-614.C由题意可知ADBC,由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1,又AD=2sin60=3,所以VA-B1DC1=13ADSB1DC1=1331223=1,故选C.15.BV275L2h=13r2h275L2=13r2,而L=2r,则=258.故选B.16.4 15解法一由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,当ABC的边长变化时,设ABC的边长为acm(a0),则ABC的面积为34a2,DBC的高为5-36a,则正三棱锥的高为(5-36a)2-(36a)2=25

19、-533a,25-533a0,0a0,即x4-2x30,得0x2,则当x(0,52)时,f(x)f(2)=80,V380=415.所求三棱锥的体积的最大值为415.17.2+2由给定的三视图可知V=121+214121=2+2.18.32设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r、高为2r,所以V1V2=r22r43r3=32.19.33由正视图知,底面三角形是腰长为2,底边为23的等腰三角形,三棱锥的高为1,所以该三棱锥的体积V=13(12231)1=33.20.7底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13524+228=1963.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r,则13

20、r24+r28=283r2=1963,解得r=7.14如图D 8-1-8,图D 8-1-8设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=13Sh,V1=VE-ADB=1312S12h=112Sh,所以V1V2=14.22.(1)由PO1=2知,O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3).正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).（）设A1B1=a m,PO1=h m,则0h6,O1O=

21、4h.如图D 8-1-9,连接O1B1.图D 8-1-9因为在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以(22a)2+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0h6,从而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调递增函数;当23h6时,V0,V是单调递减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23 m时,仓库的容积最大.A组基础题1.C由三视图可知该几何体的直观图为如图D 8-1-10所示的三棱锥P-ABC,其

22、中底面ABC是直角三角形,ABBC,PA平面ABC,BC=27,PA2+y2=102,(27)2+PA2=x2,所以xy=x102-x2-(27)2=x128-x2x2+(128-x2)2=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.故选C.图D 8-1-10B由三视图可得三棱锥为图D 8-1-11所示的三棱锥A-PBC(放到棱长为2的正方体中),则VA-PBC=13SPBCAB=1312222=43.故选B.图D 8-1-113.B 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图D 8-1-12所示,将几何体分割为两个三棱柱,所以该几何体的体积为12344+1234

23、4=48,故选B.图D 8-1-124.C由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体,由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4,所以底面边长为22,由侧视图知该长方体的高为3,设该几何体的外接球的半径为R,则2R=(22)2+(22)2+32=5,解得R=52,所以该几何体的外接球的表面积S=4R2=4254=25,故选C.5.A将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为22.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,即球O的直径为正方体的棱长 22,则球O的体积V=43R3=823,故选A.6.A正视图和俯视

24、图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.7.A由三视图知该几何体是一个直三棱柱,底面是直角边分别为4,2的直角三角形,高为2,所以该几何体的表面积是(2+4+22+42)2+21224=20+45,故选A.组提升题8.B由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体,其表面积S=222+222+124=8+16,故选B.9.B如图D 8-1-13,图D 8-1-13由三视图可还原得几何体ABCDEF,过E,F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN,将原几何体拆分成两个底面积为3,高为1的四棱锥和一个底面积为32,高为2的三棱柱,所以VABCDEF=2V四棱锥E-ADHG+V三棱柱EHG

25、-FNM=21331+322=5,故选B.10.B依题意,在如图D 8-1-14四棱锥S-ABCD中,图D 8-1-14所有棱长均为20 cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,则SO=AO=BO=CO=DO=102 cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,在等腰三角形OAS中,OA=OS=102 cm,AS=20 cm,所以O到SA的距离d=10 cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心,所以皮球的半径r=10 cm,故选B.A三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和为1226sinAPB+1226sinAPC+1266sin

26、BPC,由于APB,APC,BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,此时PA,PB,PC两两垂直,将三棱锥P-ABC放入长方体中,则三棱锥P-ABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r=1222+(6)2+(6)2=2,所以三棱锥P-ABC的体积与球O的体积的比值是13122664323=316.12.B 根据该几何体的三视图,可知该几何体是一个三棱锥,如图D 8-1-15所示,图D 8-1-15其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,它的另外三条棱长均为2,显然其是一个正三棱锥,正确;该几何体的体积V=1312111=1

27、6,正确;该几何体的表面积S=31211+122232=32+32,错误;该几何体外接球的直径2R=12+12+12=3,所以其外接球的表面积为4R2=3,正确.故选B.13.263将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体,设正方体的棱长为a,则正四面体ABCD的棱长为2a,正方体的体对角线长为3a,由3a=2a=233,则2a=263.14.3依题意,设球的半径为R,则有4R2=28916,R=178,ABC的外接圆半径为r=32sin60=1,球心到截面ABC的距离h=R2-r2=(178)2-12=158,因此点P到截面ABC的距离的最大值等于h+R=178+158=4,因此三棱锥P-ABC体积的最大值为1334(3)24=3.