概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后标准答案.doc

,. 概率论 习题四 答案 1.设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 故 3.设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求. 【解】因……①, 又……②, ……③ 由①②③联立解得 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 5.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求E（X），D（X）. 【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ -4X. 【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）. 【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因故k=2 . 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求. 【解】方法一：先求与的均值 由与的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因与独立，故联合密度为 于是 10.设随机变量X，Y的概率密度分别为 = = 求（1） ;（2） . 【解】 从而(1) (2) 11.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求（1） 系数;（2）;（3） . 【解】(1) 由得. (2) (3) 故 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求和. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 13.一工厂生产某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利只有两个值：100元和 -200元 故 (元). 14.设是相互独立的随机变量，且有,记 ， . （1） 验证=μ， =； （2） 验证； （3） 验证. 【证】(1) (2) 因为 故. (3) 因为,故 同理因为 ,故. 从而 15.对随机变量和，已知，，, 计算：. 【解】 (因常数与任一随机变量独立，故,其余类似). 16.设二维随机变量的概率密度为 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设. 同理E(Y)=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0） 而 , 由此得,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当时， 当 时，. 显然 ,故X和Y不是相互独立的. 17.设随机变量的分布律为 -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表： X -1 0 1 P Y -1 0 1 P XY -1 0 1 P 由期望定义易得===0. 从而=,再由相关系数性质知=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又 从而X与Y不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，. 【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为 题18图 从而 同理 而 所以 . 从而 19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求协方差和相关系数. 【解】 从而 同理 又 故 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数. 【解】由已知条件得：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 故 21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明： ［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy -Schwarz）不等式. 【证】考虑实变量的二次函数 因为对于一切，有，所以 ，从而二次方程 或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0， 即 故 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数. 【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间，其概率密度为 根据题意 ，所以的分布函数为 当时，； 当时，； 当时，； 于是的分布函数为：。 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为 , 即 Z=k 0 1 2 3 Pk 因此， (2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 24.假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解】因为 ,所以平均利润 令 得  两边取对数有 解得 (毫米) 因为该问题有唯一驻点，所以当毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量的概率密度为 对独立地重复观察4次，用表示观察值大于π/3的次数，求的数学期望. （2002研考） 【解】令 则相互独立，都服从（0—1）分布，且. 因为 及, 所以 , 从而 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 (i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差. 【解】由题意知： 因为与独立，所以由卷积公式得的概率密度 当时，=0; 当时， 故得 由于 ,故知 因此，有，.（与独立） 27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差. 【解】设Z=X -Y，由于 且X和Y相互独立，故, 即. 因为 而 ， 所以 . 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为，求和. 【解】记, 的概率分布为 故 又 所以 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)E(Y)]. 由已知条件得X和Y的联合概率密度为 从而 因此 同理可得 于是 30.设随机变量U在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量 X= Y= 试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率. P{X= -1, Y= -1} = P {U≤ -1,U ≤1} P{X= -1, Y=1} =P {U≤ -1, U>1} =P {}=0, P{X=1, Y= -1} =P {U> -1, U≤1} . 故得X与Y的联合概率分布为 . (2) 因, 而及的概率分布相应为 , . 从而 所以 31.设随机变量的概率密度为f(x)=， (1) 求及； （2） 求,并问与是否不相关？ （3） 问与是否相互独立，为什么？ 【解】(1) (2) 所以与不相关. (3) 为判断|与的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有 所以 故由 得出 与不相互独立. 32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设Z=. （1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）； （2） 求X与Z的相关系数； （3） 问X与Z是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 而 所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立. 33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数. 【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0. 再由X~B(n, p), Y~B(n, q)，且p = q =, 从而有 所以 故= -1. （填空题或选择题，由可以直接得= -1）. 34.设随机变量X和Y的联合概率分布为 -1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 试求X和Y的相关系数. 【解】由已知条件得E(X)=0.6, E(Y)=0.2，而XY的概率分布为 YX -1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12 从而 =0 35.对于任意两事件A和B，0

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