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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数单调性引入对于二次函数,我们可以这样描述“在区间( 0, )上,随着 的增大,相应的 也随着增大”。在区间( 0, )上,任取两个 , ,得到,当 时,有.这时,我们就说函数在区间( 0, )上是增函数 .一、函数单调性的判定与证明1、函数增减性的定义一般的,设函数的定义域为:假如对于定义域内某个区间D 上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间D 上是 增函数( increasing function)假如对于定义域内某个区间D 上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间D
2、上是 减函数( decreasing function) .【例 1】以下四个函数中,在0, 上为增函数的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A fx 3 xB fx x23xC fx 1x 13D fx |x|23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】选 C当 x0 时,fx 3 x 为减函数。当 x 0, 2 时,fx x 3x 为减函数,当 x, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, f x x2 3x 为增函数。当x0, 时, f x1为增函数。当x 0, 时, f x |x|为可编辑资料
3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减函数应选C. 2xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】判定函数gx在 1, 上的单调性 x 1 2x11 2x22 x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22【解】 任取 x1 ,x2 1, ,且 x1x2,就 gx1gx21 1x x1 1x 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 1x1x2,所以 x1 x20 ,因此 gx1 gx20 ,即 gx1gx2 故 gx在1, 上是增函数【例 3】 求以下函数的单调区间1f x 3|x|。2 f x |x2 2x3|。3 y x2 2|
4、x| 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 1f x 3|x|3x,x 0, 3x,xf3222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”14 函数 y x 的单调递减区间是, 00, 5 函数 y fx在1 , 上是增函数,就函数的单调递增区间是1 , 4 人教 A 版教材习题改编 函数 y x2 2xx 2,4 的增区间为 5如函数y 2k 1x b 在, 上是减函数,就k 的取值范畴是 二、函数最值1、函数最值定义一般的,设函数的定义域为,假如存在实数M 满意:(1 )对于任意的,都有
5、( 2)存在,使得那么,我么称M 是函数的最大值( maximum value)请你仿照函数最大值的定义,给出函数的最小值( minimum value) 的定义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 9】函数 fx1, x 1, x x2 2,x 1的最大值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 当 x 1 时,函数 fx1为减函数,所以xfx 在 x1 处取得最大值,为f1 1。当 x 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易知函数fx x2 2 在 x 0 处取得最大值,为f0 2.
6、故函数 fx的最大值为2.【例 10】函数在区间()上的最大值是1,最小值是,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【变式 4】函数的最大值为【例 11】写出函数的单调区间,并求其最值。【练习 2】1判定正误1全部的单调函数都有最值2函数 y1在1,3 上的最小值为1x322 人教 A 版教材例题改编已知函数fx x1x 2,6 ,就函数的最
7、大值为 2、二次函数的单调性与最值【例 12】如函数的单调区间是,就实数a 的取值范畴是【变式 5】如函数在区间上单调递减,就实数a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【例 13】已知二次函数( 1)当时,求的最值( 2)当时,求的最值( 3)当时,求的最小值【变式 6】设函数,求函数的最小值。三、小结f x 1 f x2f x
8、1 f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121、设 x1, x2 a, b,假如x x0 ,就 f x在a, b上是单调递增函数,假如x x0,就 fx在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a,b 上是单调递减函数2、确定单调性的方法1 利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间2 定义法:先求定义域,再取值 作差 变形 确定符号 下结论3 图象法: 假如 fx是以图象形式给出的,或者 fx的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1 比较大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个
9、单调区间内,然后利用函数的单调性解决2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉, 使其转化为详细的不等式求解此时应特殊留意函数的定义域3 利用单调性求参数视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数单调区间,与已知单调区间比较求参数。需留意如函数在区间a, b上是单调的,就该函数在此区间的任意子集上也是单调的4 利用单调性求最值应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四、课后练习一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1以下说法中正确的有x如 x1, x2 I,当 x1x2 时, fx1fx2 ,就 y fx在 I 上是增函数。函数y2 在 R 上是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y 1在定义域上是增函数。 xy 1的单调区间是 x, 0 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0 个B 1 个C2 个D 3 个【解析】 选 A
11、 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x1, x2,强调的是任意,从而不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对。 y x2在 x 0 时是增函数, x0 时是减函数,从而y x21在整个定义域上不具有单调性。y x在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整个定义域内不是单调递增函数,如 3 f5。 y1的单调递减区间不是 ,00, , x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而是 , 0和0, ,留意写法2函数 f x |x 2|x 的单调减区间是A 1,2B 1,0C0,2D 2 , x2 2x, x
12、 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 选 A由于 fx |x 2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,2 x2 2x, x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32021 黑龙江牡丹江月考设函数 fx定义在实数集上, 它的图象关于直线x 1 对称,且当 x 1 时,fx 3x 1,就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A f Cf13 f23 f32 f13 f23B f32 D f23 f32 f312 f 3213 f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 选 B由题设知,当x1 时, fx单调递减,当x 1 时,
13、 fx 单调递增,而x1 为对称轴,3 f11 f111 f,又 1 1 211 f21,即 f322222323f 33 f 2 f 3 f.4 创新题 定义新运算:当a b 时, a b a。当 ab 时, a b b2,就函数fx 1 xx 2x , x 2,2 的最大值等于A 1B 1C6D 12【解析】 选 C由已知得当2x 1 时, fxx 2,当1x 2 时, fx x3 2. fxx 2, fx x3 2 在定义域内都为增函数f x的最大值为f2 23 2 6.5函数 y |x 3| |x1|的 A 最小值是0,最大值是4B最小值是4,最大值是0 C最小值是 4,最大值是4D
14、没有最大值也没有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 4x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 选 Cy |x 3| |x 1| 2x 21 x3 4x 1作出图象可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结62021 长春调研 已知定义在R 上的函数 fx满意 fx f x 0,且在 , 0上单调递增,假
15、如 x1 x20 且 x1x20 ,就 f x1 fx2的值 A 可能为 0B 恒大于0C恒小于0D可正可负【解析】 选 C由 x1x20 不妨设 x10. x1x2 0, x1 x20. 由 fx f x 0 知 f x为奇函数又由fx在 ,0上单调递增得,fx1f x2 f x2,所以 fx1 fx20. 应选 C.二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7已知函数fx为 R 上的减函数,如f1xf1,就实数x 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 由题意知fx为 R 上的减函数且f1x1,
16、即 |x|1,且 x 0.故 1x0,0, x 0, 1, x1, 0, x 1, x2, x1 时, fx0,代入得f1 fx1 fx1 0,故 f1 0.2证明:任取x1, x2 0, ,且 x1x2,就 x11 ,由于当 x1 时, fx0 ,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 fx1x2 0,即 fx1 fx20 ,因此 fx10 时, fxx2,就 fx1 fx2 fx1 x2 x2 fx 2 fx1x2 fx2 fx2 fx1 x2 又当 x0 时, fx0 , f x1 x20 ,即 fx10 时,恒有fx1. 1求证: fx在 R 上是增函数。可编辑资料
17、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如 f3 4,解不等式f 2 a52.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 1设 x10, 当 x0 时, fx1 , fx2 x11. fx2 f x2 x1x1 fx2 x1 fx11, fx2 f x1 fx2 x1 10 . f x1fx2, fx在 R 上为增函数2 m, n R,不妨设m n 1, f1 1 f1 f1 1. f2 2f 1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -f3 4. f2 1 4. f2 f1 1 4. 3f1 2 4, f1 2, fa2 a 52 f1 , fx在 R 上为增函数,a2 a 51 . 3a2,即 a 3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
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