2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第2章 第02节 函数的单调性与最值 .doc

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1、第二节函数的单调性与最值考点高考试题考查内容核心素养函数的单调性 2017全国卷T85分复数函数单调区间的判断逻辑推理2015全国卷T125分由函数的奇偶性及单调性求自变量的取值范围逻辑推理函数的最值未单独考查命题分析函数的单调性及应用是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数概念、图像、其他性质等综合考查.1增函数与减函数的定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上(1)如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的(2)如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时都有f

2、(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的2单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的(2)单调性：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数：如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数3函数的最大值和最小值前提设函数yf(x)的定义域为D，如果存

3、在实数M满足条件(1)对于任意xD，都有f(x)M；(2)存在x0D，使得f(x0)M.(3)对于任意xD，都有f(x)M；(4)存在x0D，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值提醒：(1)两个易误点易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结(2)复合函数的单调性形如yf(v(x)的复合函数的增减性如下：函数增减情况内函数uv(x

4、)增增减减外函数yf(u)增减增减yf(v(x)增减减增(3)函数单调性的几个常用结论函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反；函数f(x)恒正或恒负时，函数y1/f(x)与yf(x)的单调性相反；在公共定义域内，增函数增函数增函数，减函数减函数减函数；减函数增函数减函数，增函数减函数增函数1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性()(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)BmDm解析：选B若y(2m1)x2在R上是减少的，则2m10，即m0)在(1,1)上的单调性解：方法

5、一(定义法)设1x1x21，则f(x1)f(x2). 1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，故函数f(x)在(1,1)上为减函数方法二(导数法)f(x).a0，x(1,1)，f(x)0，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D(2)求函数f(x)x22|x|1的单调区间解：由题意可得f(x)所以f(x)画出函数图像如图所示，可知单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为 1,0和1，)母题变式

6、 若将本例(2)中函数变为f(x)|x22x1|，如何求解？解：函数y|x22x1|的图像如图所示由图像可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为1，1和1，)；单调递减区间为(，1)和(1,1)刷好题1函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2B1,0C0,2D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图像可知函数的单调减区间是1,22函数y2x23x1的单调递增区间为()A(1, )BCD解析：选B令u2x23x122.因为u22在上单调递减，函数yu在R上单调递减所以y2x23x1在上单调递增函数单调性的应用析考情函数单调性结合函数图像以及函数其他性质的应用是近几年高考命题的热点试

7、题常以选择题、填空题的形式出现，考查函数最值或值域问题、比较函数值大小、解含“f”符号的不等式以及求参数等问题，试题难度中档提能力命题点1：求函数最值(值域)问题【典例1】 (2018榆林检测)函数f(x)(x2)的最大值为_解析：f(x)，当x2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上是减函数，故f(x)maxf(2)2.答案：2命题点2：比较函数值的大小【典例2】 已知函数yf(x)的图像关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcbaBbacCbcaDabc解析：选B方法一由题意知f(x)f(2x)，则fff，又f(x)在(1，)上

8、单调递增，所以f(2)ff(3)，即bac.方法二由对称性及单调性得其图像草图如图所示结合图像得f(2)ff(3)，即baf(a3)，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)命题点4：求参数的值或取值范围问题【典例4】 (2018凯里模拟)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1B1,4C4，)D(，14，)解析：选D作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D悟技法函数单调性应用问题的常见类型及解

9、题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时，应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数刷好题1已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)0，则一定正确的是()Af(4)f(6)Bf(4)f(6)Df(4)0知f(x)在(0

10、，)上递增，所以f(4)f(6)2(2018日照模拟)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,1解析：选Df(x)x22ax在1,2上是减函数，a1，又g(x)在1,2上是减函数，a0，0a1.3已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是_解析：依题意得，不等式f(x)f(2x3)等价于x3，即满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是(3，)答案：(3，)4若函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.解析：易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.