高中数学《必修⑤正余弦定理的应用》教学设计.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题：必修正、余弦定理的应用三维目标：1、学问与技能（ 1）通过解决各种关于三角形的基本问题，进一步懂得正、余弦定理的内容和基本用法。（ 2）能够运用正、余弦定理及相关的三角学问解决关于三角形的较为综合的问题。2、过程与方法引导同学运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角学问，通过合作探究、争论、沟通，解决各类关于三角形的问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，仍能复习巩固前面所学习的三角学问和基本方 法。（ 2）在体验学问的运用过程和合作探究过程的同时，不断熟悉三角学问的工具性作用及所带来的转化思想

2、及数形结合思想，锤炼抽象思维才能和推理论证才能。（ 3）培育同学分析问题、解决问题的才能及钻研精神，培育同学的运算才能、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）通过三角形函数、正余弦定理等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。（2）通过三角学问的进一步拓展和运用，体会数学学问抽象性、概括性和广泛性，培育同学学习数学的爱好，形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（ 3）通过对三角学问的进一步学习及探究，不断培育自主学习、主动探究、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参加意识和合作精神。教学重点：运用正、余弦定理及相

3、关的三角学问解决关于三角形各类基本的问题。教学难点：运用正、余弦定理及相关的三角学问解决关于三角形的较为综合性的问题。教具： 多媒体、实物投影仪教学方法 ： 合作探究、分层推动教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -同学们，前面，我们学习了正弦定理、余弦定理，通过初步运用，我们 进一步感受到了三角学问的强大威力

4、和无限魅力既然这两个定理都学了，我们就可以综合的运用这两个定理来解决更多类型三角问题了。这就是我们今天要完成的任务。请同学们回忆一下正弦定理、余弦定理所带来的三角公式：正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin AsinBEMBED Equation.DSMT4sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2b2a 2c 2a 2c 22bc cos

5、A c 22accos B b22ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222222cosAbca 2bccosBa cb 2accosCb ac 2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、 创设情境合作探究：【 引领同学在以下的设计中探究出相应 的 结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结果】aasinA cosB cb， cosA sinB c， tanA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosbA。BcosCtansAin ABB tasniCn C，可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABcos C， AcosBEMBsEinDC。Equation.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22asin，bAsin B2csin C2，2 R。（ R为 外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解决以下两类问题：已知两角和任一边，求其他两边和一角。（唯独解）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 给 出a， b, A那 么 解 的 个 数 为 ： 无 解 （ ab sin A）。 一 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ab sin A 或者 ab sin A ）。两解（b sin Aab ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解决以下两类问题：已知三边，求三个角。 （唯独解）已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角。（唯独解）111（ 1） 2 aha 2 bhb 2 chc（ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料w

8、ord 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 2absinC 2 bcsinA 2acsinB。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、互动达标巩固所学：（1.一已）知正、A余BC弦中定，理如的as基in5本A5,:b应sin用1B6,:SsinABCC522:102 :313 ，就 cos A2. 在ABC 中, 已知，就 C3. 在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且就 cosB=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已 知ABC中 ，A,B,C的 对 边 分

9、 别 为a,b, c如 ac62 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A75o ，就 bA.2B 4 23C4 23D62【分析】 第 1题直接运用正弦定理把角的关系转化为边的关系，然后再运用余弦定理求解即可。第 2 题用面积公式列出方程即可解决。第 3 题利用余弦定理直接来解决即可。第 4题如能看出是等腰三角形，就可以直接运用余弦定理来求解了。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】1.cos A12 221325212121313。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ab sin C2.21220

10、3sin C32C60 0 或120 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3cosB=4 。4三角形是等腰三角形，所以，B=30O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以， ba2c 22ac cos3004故b4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】第一个题第一是利用转化思想，然后再用定理来解决。其次个题呈现的是方程思想，但要留意，此题应有两解，有的可能只得出一解。第三个题所带来的是整体思想，其中的边长和其他角是求不出来的。第四个题考查的是敏捷性。二三角形中的边、角关系的恒等式证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 .1

11、三角形中证明a cos Bb cos Ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 可有两种思路：一是把角的关系转化为边的关系。二是把边的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -关系转化为角的关系，所以就有了下面的两种解法，思路清晰了，请同学们独立解决吧：【解析】 方法一：（余弦定理）方法二：（正弦定理）【点评】 三角形恒等式的证明

12、有的是将边、角关系转化为三角函数关系。有的是转化为边的关系。有的是边角同步转化。（三）判定三角形外形问题.1 三角形中依据以下条件判定三角形外形a2b cos C【分析】 与上面的问题类似可有两种思路：一是把角的关系转化为边的关系。二是把边的关系转化为角的关系，所以就有了下面的两种解法，思路清晰了，请同学们独立解决吧：【解析】 方法一：（正弦定理）方法二： （余弦定理）【点评】 此类问题关键在于对式子进行适当变形。有的变形为一边是因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式的积另一边是零的形式如：sinA cos B0 。有的两边都变为单一的角或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

13、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边的关系如：sinAsinB ;有的转化为特别式子如sin A1sin A1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 .2 已知关于x的方程a1x 2 2bxc1x2 0 没有实数根，如a,b,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是ABC 的三边，求证：三角形为钝角三角形。【分析】 先把方程整理一下，然后再依据方程无实根列出等价的式子，便可得到结果：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 方程可整理为： ca x22bxca0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

14、 - 欢迎下载精品名师归纳总结如 ca以 ca0,由方程有实根可推出b0，这不行能，所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据一元二次方程没有实根，得：a 2b 2c 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 cosC0所以，三角形为钝角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】 此题同学在解决时，易漏掉对c a为不为0的分析或讨论。（四）综合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题.1 在ABC 中， BC5 , AC3, sin

15、C2 sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求 AB 的值。（ 2）求积sinA 的值。（ 3）求ABC 的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 第一用正弦定懂得决（1），然后再用余弦定懂得决（2），最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -后用面积公式解决（ 3）5c可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品名师归纳总结【解析】 （ 1）由正弦定理得：sinAsin C，由于sin C2 sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得：c25即AB253225 25 2255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos A所以，sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）由余弦定理得：232555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）由面积公式易得：面积为3【点评】 由上面的过程可看出，此题一个关于三角形较为综合的问题， 所用的学问既基本又广泛，当然，此题比较简洁。此类问题往往涉及角

17、边的大小，角的三角函数，面积，及角、边、面积的最值问 题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题.2 在ABC 中， AB1, AC2 ,求角 C 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 有两种思路：之一是用正弦定理列出关系式来分析。二是用数形结合的思想来解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】sin Cc sin B b1 sin B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10sin C所以，2而 c不是最大边，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 范畴为：0,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结【点评】 此题要求较高，需要依据此处的学问和条件，进行细致的分析，找到问题的突破口，有肯定的敏捷性和综合性。四、思悟小结：学问线：（ 1）正、余弦定理及其推论。（ 2）相关的三角公式和性质。思想方法线：（ 1）公式法。（ 2）方程思想与等价转化思想。（ 3）分类争论思想方法。（ 4）数形结合思想方法。题目线：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

19、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）正、余弦定理的基本应用。（2）三角形中的边、角关系的恒等式证明（ 3）判定三角形外形（ 4）综合问题五、针对训练巩固提高：1三角形中，判定满意以下条件的三角形的外形abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1） atan Bb 2 tan A2cos Acos Bcos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在 ABC 中 ， S=3 ， a23 ， b2 ，解此三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知锐角三角形的边长分别为2，4，x，就 x 的取值范畴【作业】【巩固提高】中第1 题、2 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载