高中数学解题方法之分离变量法含答案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分别变量法分别变量法是近年来进展较快的思想方法之一. 高考数学试题中，求参数的范畴经常与 分类争论、方程的根与零点等基本思想方法相联系. 其中与二次函数相关的充分表达数形结 合及分类思想方法的题目最为常见. 与二次函数有关的求解参数的题目,相当一部分题目都可以躲开二次函数, 使用分别变量, 使得做题的正确率大大提高. 随着分别变量的广泛使用, 越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分别变量法：是通过将两个变量构成的不等式 方程 变形到不等号 等号 两端，使两端变量各自相同, 解决有关不等式恒成立、不等式存

2、在（有）解和方程有解中参数取值范畴的一种方法 . 两个变量，其中一个范畴已知，另一个范畴未知.解决问题的关键 : 分别变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题 . 分别变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循 . 以下定理均为已知 x 的范畴，求 a 的范畴：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1不等式f xg a 恒成立f xming a（求解f x 的最小值）。不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式 f xg a 恒成立f xmaxg a （求解f x 的最大值） .可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理2不等式f xg a 存在解f xmaxga（求解f x 的最大值） 。不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 fxg a 存在解f xming a （即求解f x 的最小值） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 3方程f xg a 有解g a 的范畴f x 的值域（求解f x 的值域） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解决问题时需要留意： （ 1）确定问题是恒成立、存在、方程

4、有解中的哪一个。（ 2）确定是求最大值、最小值仍是值域.再现性题组：1、已知当xR 时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如 fx=x23 x3 在 x1,4 上有f xx2a1 恒成立，求a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如 fx=x23 x3 在 x1,4 上有f xx2a25a1 恒成立，求 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、如方程 4x2a 2

5、 x10 有解，恳求a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、已知 y1312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xaxx 321 是 0, 上的单调递增函数，就a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a0B .2a2C . a2D . a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求使不等式asin xcos x, x0, 恒成立的实数a 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再现性题组答案：1、解：原不等式4sin xcos 2 xa5 当 xR

6、 时，不等式 a+cos2x4sinx+cos2x max，设 fx=4sinx+cos2x就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx= 4sinx+cos2x=2sin2 x+4sinx+1=2sinx12 +3a+53a0 ，就 t 22at102at12a1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、解： y x2ax1 0 在 0,上恒成立1ax在 0, 上恒成立a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、解：由于函asin xcos x2 sin x, x4344 , 4 ，明显函数有最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值2 ，a

7、2 。2示范性题组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知函数fxxax1, x0,1, 且 | fx|3 恒成立 , 求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】法一 二次函数: 问题转化为不等式组x2ax13, xx2ax130,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx2ax1在 x0,1 上的最大值与最小值以对称轴与定义域端点进行比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分类 , 争论单调性 . 正确率较低 .4x2法二 分别变量 : 问题转化为2x

8、2a在 x0,1 上恒成立 除 x 时留意符号,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由定理 1 得4x2 xamax2x2xmin. 求相应函数最值, 正确率较高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知函数f x1 ax 222 x a0, g xln x.如 h x f xg x存在单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间，求 a 的取值范畴 .ax22x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】问题转化为有解 .h x0在 xx0 上有解 , 即 ax 22 x1

9、0 在 x0 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：法一 二次函数 : 此题f 010 , 分类是只需留意开后和轴, 较为简捷 . 正确率不高 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结缘由在于没有留意特别点, 将问题分为1 解 ,2 解, 想得过于复杂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二 分别变量: 问题转化为a12 x 在 xx20 上有 存在 解由定理1.2得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a12xx2min. 求解相应范畴上的最小值, 正确率较高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 已知 a 是实数， 函数点，求 a 的取值范畴 .f x2ax22x3a. 假如函数yf x 在区间 1,1 上有零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】方法一 根的分布 : 这个题目是一个标准的根的分布问题, 解题时需要考虑:开口方向, 判别式 , 对称轴 , 特别点的函数值. 解题时需要分为大3 类, 小 5 类. 同学能够部分得分, 很可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -

11、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结难列出全部不等式组.方法二 分别变量 : 问题转化为2ax 22 x3a0 在 x1,1 上恒有解分别变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量得 a32 x , x1,2 2 ,2 2 ,1 有解由定理1.3得只需求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x212222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 g x32x 在 x21,22

12、,22,1 上的值域即可,单独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑 . 此法思维两较小, 运算量较二次函数略大, 得分率略有增加.通过对上述三道题目解答过程中显现的两种做法的比较 ,不难体会到 ,分别变方法的优越性:思维量小 ,过程简捷明快 ,思维严谨性的要求有所降低 .不足之处 :个别时候 ,分别后产生的函数 ,在求解其最值或值域时运算量较大 .总体来说 ,多数时候 ,应优先使用分别变量法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/例 4、已知函数f xx33ax1 的导函数为f / x ，g xf /

13、 xax3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）如xg x60 对一切 x2 恒成立，求实数a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如对满意0a1的一切 a 的值，都有g x0 ，求实数 x 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）f / x3x23ag x3x23aax3g / x6xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品名师归纳总结即 6x2ax60 对一切 x2 恒成立即 a626 x对一切 x x2 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记 h x6 x6，就在 xx2 上 ah x 恒成立，h/ x66 在 x x2 上恒大于0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h x6 x6 在 x x2 上单调递增，hxminh215a15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 即g x3x23aax3 对一切 0a1恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如

15、 x3 ，就g x3x23aax3240 不满意x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x3 ，就 a33 x2对一切 0a1 恒成立33x210x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x3 ，就 a33 x2对一切 0a1 恒成立33x2033x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x3x1x1x综上所述：0x13巩固性题组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、已知函数fxlgxa x2，如对任意x2,恒有 fx0 ，试确定

16、a 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、已知 x,1 时，不等式1 2xaa 24x0 恒成立，求a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、已知函数f xx3

17、2x2x4 ,g xx2ax7 . 如对任意的x0, 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x g x ，求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、设函数f x1 x331a x24ax24a ，其中常数aR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）当 a1 时，求函数f x 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如 x3 时，f x0 恒成立，求实数a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、在ABC中，已知 求实数 m的范畴。f B4 sinB sin 2 4B cos 2B, 且 | 2f Bm |2 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求使不等式asin xcos x, x, 344 恒成立的实数a 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xa 4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、设f xlg,其中 aR ，假如 x 3.1 时，f x 恒有意义，求a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

19、结取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、设函数是定义在, 上的增函数，假如不等式f 1axx f 2a 对于任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2意 x0,1 恒成立，求实数a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分别变量法巩固训练题答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、解：

20、依据题意得：xa21 在 x2,x上恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： ax23x 在 x2,上恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 fxx23x ，就2fxx3924可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x2 时，fx max2所以 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解：令 2xt ，x,1t0 , 2所以原不等式可化为：a2at1 ，t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使上式在t0,2上恒成立，

21、只须求出ftt1 在 t0,2t2上的最小值即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111ttt24t22ftt1 ,t 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ftf23a 2a31a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结min4422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、解：f xg x 即 3x24x1x2ax7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2 x24x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ，就 08 恒成立，aR888可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ，就 a

22、2 x4 ， 又 x2x422xxx412 ，a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述：4、解：（ 1）a12f xx221ax4ax2 x2a ，又 a1 ，由 f x0 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x,22 a, ，由 fx0 得 2x2 a ，因此f x 的单调增区间有, 2 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a, ， f x 的单调减区间有2, 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） x3 时，f x0 恒成立x3 时，x221a x4a0 恒成立。可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 时， x2 x2a0 恒成立x3 时， 2ax 恒成立，2a3a32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、解 :f B 4 sinB sin 2 4B cos 2 B 22 sin B1,0B,sin B0,1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f B 1,3 ，| f B m |2 恒成立，2f B m2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mf B即mf B

24、2恒成立，2m1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、解：由于函asin xcosx2 sinx,x40,42， 令 ysin xcos x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就由

25、于 ysin xcos x的最大值取不到2 ，即 a 取2 也满意条件，所以a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、解：假如 x.1 时，f x恒有意义12 xa 4 x0 ，对 x,1 恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xa4x又 x.1 就t2 x12 2x x.1恒成立。令 t12 x ， gt tt 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, 2ag t 对t, 2恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又g t 在t

26、 1 , 上为减函数， 2g t maxg 1 3 ，24a3 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1 axx22 a 对于任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0,1恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fx 是增函数f 1axx2 f 2a 对于任意 x0,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

27、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1axx22a 对于任意x0,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2ax1a0 对于任意x0,1 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 gxx2ax1a ， x0,1 ，所以原问题g xmin0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g0,a01a ,a02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 gxminga,222,aa0 即2g xminaa42,a1,2a02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易求得 a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载