2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升:54 圆锥曲线中的证明与探索性问题 .doc
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1、课时作业提升(五十四)圆锥曲线中的证明与探索性问题A组夯实基础1(2018长春模拟)已知抛物线C:y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程;(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得为定值如果存在,求出点M坐标;如果不存在,请说明理由解:(1)联立方程有,有y22py8p0,由于直线与抛物线相切,得8p232p0,p4,所以y28x(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0),直线l:xtym,有y28ty8m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1y28t,y1y28m,|AM|2(x1m)2y(t21)y,|BM
2、|2(x2m)2y(t21)y, 当m4时,为定值,所以M(4,0)2设F是椭圆C:1(ab0)的左焦点,直线l的方程为x,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知|MN|8,且|PM|2|MF|(1)求椭圆C的标准方程;(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A,B,求证:AFMBFN(1)解:|MN|8,a4,又|PM|2|MF|,得a2(ac),整理得2e23e10e或e1(舍去)c2,b2a2c212,椭圆的标准方程为1(2)证明:当AB的斜率为0时,显然AFMBFN0.满足题意当AB的斜率不为0时,点P(8,0),F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的
3、方程为xmy8,代入椭圆方程整理得:(3m24)y248my1440,则(48m)24144(3m24),y1y2,y1y2kAFkBF 0,kAFkBF0,从而AFMBFN综上可知:恒有AFMBFN3(2018桂林模拟)在平面直角坐标系xOy中,设圆x2y24x0的圆心为Q(1)求过点P(0,4)且与圆Q相切的直线的方程;(2)若过点P(0,4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA、OB为邻边做平行四边形OACB,问是否存在常数k,使得OACB为矩形?请说明理由解:(1)由题意知,圆心Q坐标为(2,0),半径为2,设切线方程为:ykx4,所以,由2解得k所以,所求的切线方程为
4、yx4,或 x0(2)假设存在满足条件的实数k,则设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1k2)x2(8k4)x160,16(2k1)264(1k2)0,k,x1x2,且y1y2k(x1x2)8,(x1x2,y1y2),|2(x1x2)2(y1y2)2,又|24,要使平行四边形OACB为矩形,则|2|216,所以k2,存在常数k2,使得平行四边形OACB为矩形B组能力提升1(2018保定模拟)设椭圆x22y28与y轴相交于A,B两点(A在B的上方),直线ykx4与该椭圆相交于不同的两点M,N,直线y1与BM交于G(1)求椭圆的离心率;(2)求证:A,G,N三点共线(1)解:由题意得标准
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