有关解析几何的经典编辑结论.doc

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有关 解析几何 经典 编辑 编纂 结论
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^` 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是. 6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是. 7. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为. 8. 椭圆(a>b>0)的焦半径公式: ,( , ). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则, 即。 12. 若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是. 13. 若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是. 二、双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支) 5. 若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是. 6. 若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是. 7. 双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为. 8. 双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( , 当在右支上时,,. 当在左支上时,, 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11. AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。 12. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是. 13. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是. 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆 1. 椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2. 过椭圆 (a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数). 3. 若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则. 4. 设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有. 5. 若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立. 7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. 8. 已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是. 9. 过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 11. 设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) . 12. 设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) . 13. 已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1. 双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2. 过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数). 3. 若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则(或). 4. 设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有. 5. 若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立. 7. 双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是. 8. 已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且. (1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是. 9. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或. 11. 设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) . 12. 设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,, ,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1). (2) .(3) . 13. 已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式: 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式: 2、直线的一般式方程:任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。 3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线) 与直线垂直的直线可表示为。 4、两平行线间的距离为。 5、若直线与直线平行 则 (斜率)且(在轴上截距) (充要条件) 6、圆的一般方程:,特别提醒:只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。 7、圆的参数方程:(为参数),其中圆心为,半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元:; 8、为直径端点的圆方程 切线长:过圆()外一点所引圆的切线的长为() 9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解:;②过两圆、交点的圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.。
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