高中数学必修一函数解题方法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数习题课 I函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法一 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范畴。一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。 （ 4）指数、对数的底数大于0，且不等于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） y=tanx 中 x k +/2 。y=cotx 中 x k 等等。 6 x0 中 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1

2、 求以下函数定义域11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x f xx1x22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xlg 3xx22 x3 0 f xx 23x4x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yx2313 3x7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二解题时要关注定义域2函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值范畴的关键， 是题目限制条件的表达。由于常常被忽视，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。如

3、想正确的解决函数相关问题，必需在解题时关注定义域，把它明确的写出来。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知函数f x2log 3x1x9 ，求函数2f xf x 的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 求函数f xlog ax2 xa0且a1 的单调增区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x 或其他字母 ，但是由于对应法就所作用的x 形式不同 如 x+2,x 2等 ，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧

4、抓住一点：括号里面的全部代数式的取值范畴是相同的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知函数f x 的定义域为 0,2 ，求f 2 x1 的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知函数f 2 x1 的定义域为 -1,5 ，求f x的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知函数f x1 的定义域为 0,2 ，求f 3x2x 的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、求函数值域的方法一层层分析法 直接法 这

5、种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。在分析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x 的时候， 要留意 分别常数法 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 求函数 y22x2 x1的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 求函数 y2x2x1 x2 x11 的值域2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 求函数 y2x4 x3的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 求函数 y2 x2x24 x72 x3的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二换元法常用来处理含根式的函数求值域。分以下几种情形：1.显现单根式时用代数换元x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 求函数y的值域可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结x3例 12 求函数 y2x13x 的值域2.显现平方和为定值常有双根式 时用三角换元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13 求函数 y8x3x6 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14 求函数 yx21x12的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx3.显现指数或高次函数有时也用换元法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另例求函数 y932 x0,1 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三几何意义法利用函数的几何意义将函数转化

8、成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值域。常用来解决含肯定值函数，含根式的函数的值域问题。1.显现肯定值时转化成数轴上两点的和与差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15 求函数 yx 1x4 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.显现双根式时考虑两点间距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 16 求函数 yx24x26x10 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 17 求函数 yx26 x13x24x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.显现肯定值时也可以考虑转化为点到直线距离可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 18 求函数 y2x24x227 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.显现分式时可以考虑转化为斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 19 求函数 y3sin x2cos x的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数习题课 II 函数解析式的求法，分段函数一、函

10、数解析式的求法一待定系数法如题目中已经明确给出了函数的形式如一次函数、二次函数、指数函数等可以利用待定系数法现将函数解析式设出，再利用题目已经给出的关系进行带入化简，通过对比系数进行对于函数解析式的确定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知一次函数f x ，且 ff x4x3，求f x 解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二拼凑换元法已知复合函数f g x 的解析式时， 通过在已知的解析式中拼凑出g x 或通过换元法对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析式进行处理后得到解析式。重要的是不能

11、忽视拼凑或换元前后定义域的变化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知f 1 xx，求 f1x121cos2 x的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知f xx x2x0 ，求xf x 的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三方程组法求解析式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同时显现x, xx 等有关的函数解析式时，常用列方程组的方法来求解析式。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 设析式f x 为偶函数，g x 为奇函数，且f xg x，试求x1f x ，g x 的解可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品名师归纳总结四抽象函数求解析式解决抽象函数问题的一种最常用的方法就是赋值法。当抽象函数相关的题目中先给出了某一函数值，后续的解题过程中必定会用到赋值法，从而简便运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知f 01，对于任意实数x, y ，等式f xyf xy 2xy 1 恒成立， 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6 设f x是定义在N * 上的函数，且满意f 11 。对任意自然数a, b 都有等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

13、纳总结f a f bf ab ab 成立，求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、分段函数问题在给出了分段函数解析式的问题中，主要有三类问题：一是求函数值，特殊是求复合函数的值， 其方法是当自变量在不同的区间段上时，带入不同的解析式。二是讨论这个分段函数 的单调性， 方法是依据函数在各个区间段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性。三是求最值，其方法是求出函数在各个区间段上的最值，这些最值中最大的是分段函数的最大值， 最小的是分段函数的最小值。分段函数的易错点在于各定义域分界点处函数值的大小。此外，分段函数常用数形结合法分析。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

14、例 7 已知函数f xx24x3x, x3, x00，求方程f x10 的实根个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 已知函数f x 1 2x , x4， 求 f 2log 2 3 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1

15、, x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 设函数f xx2bx2, x0c, x0， 如 f 4f 0, f 22 ，就关于x 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx 的解的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 已知函数f x1x, xx2, x2,1, 1,21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 , x x 1 ,2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1求f x 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品名师归纳总结2设函数g x ax2, x2,2 ，如对于任意x12,2 ，总存在x02,2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得 gx0 f x1成立，求实数a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数习题课

17、 III 函数的单调性和最值一、函数的单调性一证明函数的单调性必修一当中对于函数单调性的证明仅限于用定义证明，因此难度不是太大，常常在单调性的证明过程中考察指对数运算，新定义的学习才能等。破解方法即娴熟把握证明方法，并认真审题，通过题目给出的条件进行运算，拼凑定义。常用的几种处理方法：因式分解，通分，分子有理化，配方，构造抽象函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 证明函数f xx2x2x 在区间（1，）上单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 求函数f x在区间 x1,1 上的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结3例 3 求函数f xx 在区间0, 上的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 证明函数f xxx 在 R 上为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 对任意a,bR ，函数f x 都有f abf af b 1 ，且当 x0时， f(x) 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：f x在 R 上为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二利用函数

19、的单调性解决问题1.利用函数的单调性识图在挑选题中常显现一些需要挑选函数图像的题目，这时利用单调性进行排除就是一种很好的方法。此类识图题目有几个关注点：定义域，端点值，特殊值，单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 函数f x1x 21 的图象大致是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.利用函数的单调性比较大小在挑选题中也常显现一些比较函数值大小的题目，这类题常利用函数在一些区间上的单调性来解决。 但题目往往不会仅用函数的单调性便可以解决，常常需要结合函数的其他性质如奇偶性，周期性等将自变量转换到同一个单调区间中后，再进行比较。可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品名师归纳总结例7定 义 在R上 的 偶 函 数f x满 足 ： 对 任 意 的x1, x2,0, x1x2 ， 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1x2 f x1 f x2 0 ，就当 nN * 时，求f n,f n1,f n1) 的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 已知函数f xlog a x 在 0,上单调递增， 试比较f 2,f 1,f 3的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

21、归纳总结例 9 定义在 R 上的奇函数f x ，满意f x4f x ，且在区间0,2上是增函数，试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较 f 25,f 11,f 80的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.利用函数的单调性解函

22、数不等式此类题目涉及的函数一般在题目中都会通过一些条件加以限制，从而使它在需要进行求解的范畴内是单调的。因此解决此类题目只需要将单调性正确解出，再比较需要比较的两个自变量的大小关系即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 如偶函数f x 在,0 上单调递减，求不等式f 1f lgx 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 解不等式二、函数的最值log1a 11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的最值作为函数在特定区间上的一个基本特点，在懂得上没有难点，因此在命题上也很少单独考察，

23、一般题目常以求最值为最终命题要求，实际考察函数的单调性，奇偶性和周期性等性质。【方法技巧】求函数最值的方法：1利用已知函数的性质求函数的最值：如二次函数。2利用图象数形结合求函数的最值。3 利用函数的单调性求函数的最值，这种情形下的函数一般为连续函数，且求最值时给出的单调区间常为闭区间示意端点值可能为最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12 已知函数y1xx3 的最大值为M ，最小值为m，求m 的值M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13 求函数 yx的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例14如 果 函 数 f1 x对 任 意 的 实

24、 数x ， 都 有f 1xf x， 且 当 x1 时 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xl o g2 3x1 ，那么求函数f x 在2,0上的最大值与最小值之和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tip:由于奇函数具有关于原点对称的性质，因此常常有最值的奇函数，会出现在求最大值和最小值之和的题目中，此时最大值和最小值之和为0. 因此题目问最大值和最小值之和时，要留意函数的奇偶性，或许可以使运算更加简便。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

25、 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数习题课 IV 函数的奇偶性，周期性这一部分应当是函数题目中的重头戏。涉及到函数题目中的创新性题目，由于奇偶性和周期性可以利用抽象函数表示，且表示的形式特别多样，奇偶性和周期性特殊受到命题人的青 睐。破解奇偶性和周期性相关题目的方法只有一个：娴熟把握相关的抽象性质，利用数形结合法画出函数图像解题。一、函数的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【 知 识 储 备 】 1. 偶 函 数 在 定 义

26、域 上 必 有f xf x， 奇 函 数 在 定 义 域 上 必 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.上面两式仍有等价形式：1 偶函数f xf x0 ，奇函数f xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 偶函数f x1，奇函数f x1，前两式均有f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x3.判定函数奇偶性的步骤：1判肯定义域， 具有奇偶性的函数的定义域肯定关于原点对称。 如某函数的定义域就不关于原点对称，那么此函数肯定不

27、具备奇偶性。2 依据定义式判定函数的特点， 留意肯定要两个式子都进行验证，由于存在既奇又偶函数，也存在非奇非偶函数。4.函数奇偶性的相关结论：1 偶函数的和，差，商，积仍为偶函数。奇函数的和，差仍为奇函数，但商，积为偶函数。奇函数和偶函数的商，积为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 函数f x 与kf x, k0 ，1f x具有相同的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3* 复合函数的奇偶性判定：内偶就偶，内奇同外。题型示例： 1.判定函数的奇偶性这类题目一般使用定义法判定函数的奇偶性，但是需要特殊留意既奇又偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、名师归纳总结例 1 定义两种运算： aba2b2 ，abab 2，判定函数f x2x2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的奇偶性例 2 设 Q 为有理数集， 函数f x1, x1, xQCRQ, g xex1ex1，函数hx f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 如f x 是 R 上周期为5 的奇函数，且满意f 11, f 22 ，求f 3f 4 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

29、总结例 4 函数f x 的定义域为R，且满意：f x 是偶函数，f x1 是奇函数， 如f 0.59 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 f 8.5 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知函数f x 在-1,1 上有定义，f 1 21，当且仅当0x1 时，f x 0，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结

30、归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意x, y1,1 都有f xf yf x 1y ，试证明： xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) f x 为奇函数。(2) f x 在定义域上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、函数的周期性【学问储备】 1.假如存在非零常数T 使得对函数定义域内的任意x，都有f xT f x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就函数f x 称为周期函数，T 是其一个周期。可编辑资料 - - - 欢迎

31、下载精品名师归纳总结2. 关于函数周期性的一些变形结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 如满意f xaf xa ，就函数f x 为周期函数，且T2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如满意f xaf x ，就函数f x 为周期函数，且T2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如满意f xa1f x，就函数f x 为周期函数，且T2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(

32、4) 如满意f xa1f x，就函数f x 为周期函数，且T2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 如满意f xa1f x1 f x，就函数f x 为周期函数，且T4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 如满意f xf xaf x2a，就函数f x为周期函数，且T6 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知f x 是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且当0x2 时，f xx3x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数