2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第10章第2讲 双曲线.docx

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1、第二讲双曲线题组1双曲线的定义和标准方程1.2017天津,5,5分文已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y2=1D.x2-y23=12.2016天津,4,5分文已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1 B.x2-y24=1 C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=13.2014天津,6,5分文已知双曲线x2

2、a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1 B.x220-y25=1 C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1题组2双曲线的几何性质4.2017全国卷,5,5分文已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.325.2017全国卷,5,5分文若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2) C.(1,2)D.(1,2)6.2016

3、全国卷,11,5分已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin MF2F1=13,则E的离心率为()A.2B.32C.3D.27.2015四川,7,5分文过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.438.2014新课标全国,4,5分已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3mC.3D.3m9.2017全国卷,14,5分文双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.1

4、0.2017北京,10,5分文若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.11.2017山东,15,5分文在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.12.2016山东,14,5分文已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.13.2015新课标全国,16,5分文已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,

5、66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.A组基础题1.2018辽宁省五校联考,4在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=12.2018合肥市高三调研,4 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为()A.52 B.5C.3+12D.3+13.2017长春市高三第四次质量监测,11已知F1,F2是双曲线C:x2a2

6、-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2最小内角为30,则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy=0B.x2y=0C.2xy=0D.x2y=04.2017成都市三诊,5已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),直线l:y=2x-2.若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为()A.1 B.2 C.5 D.45.2017沈阳市三模,6已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,若在双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|F1F2|,则双曲线的离心率的取

7、值范围是()A.(1,2 B.(1,2C.2,+)D.2,+)6.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,11设P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|=()A.4 B.5 C.6D.7B组提升题7.2018广东第一次七校联考,11已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52 B.5C.2D.28.2018南昌市调研,12已知

8、双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=bax恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.69.2018洛阳市尖子生第一次联考,9设双曲线C:x216-y29=1的右焦点为F,过F作双曲线C的渐近线的垂线,垂足分别为M,N,若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离,则d|PF|的值为()A.34 B.45 C.54D.无法确定10.2018益阳市、湘潭市高三调考,15已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐

9、近线在y轴右侧的交点为B,若AB=3FA,则此双曲线的离心率为.答案1.D由OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,ba=tan 60=3,又c2=a2+b2,可得a=1,b=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.2.A由题意得c=5, ba=12,又c2=a2+b2,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1.故选A.3.A由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=bax与直线y=2x+10平行,所以ba=2,且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1.故选A.4.D解法一由题可知,双曲线的右焦点为F(

10、2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-y23=1,解得y=3,不妨取点P(2,3),因为点A的坐标为(1,3),所以APx轴,又PFx轴,所以APPF,所以SAPF=12|PF|AP|=1231=32.故选D.解法二由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-y23=1,解得y=3,不妨取点P(2,3),因为点A的坐标为(1,3),所以AP=(1,0),PF=(0,-3),所以APPF=0,所以APPF,所以SAPF=12|PF|AP|=1231=32.故选D.5.C依题意得,双曲线的离心率e=1+1a2,因为a1,所以e(1,2),故选C.6.A设

11、F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程,得c2a2-y2b2=1,所以y2b2=c2a2-1=b2a2,所以y=b2a.因为sinMF2F1=13,所以tanMF2F1=|MF1|F1F2|=b2a2c=b22ac=c2-a22ac=c2a-a2c=e2-12e=24,所以e2-22e-1=0,所以e=2(e=-22舍去).故选A.7.D由双曲线的标准方程x2-y23=1,得右焦点F(2,0),两条渐近线方程为y=3x,直线AB:x=2,所以不妨取A(2,23),B(2,-23),则|AB|=43,故选D.8.A双曲线方程为x23m-y23=1,焦点F到一条渐近线的距离为b=3.故选A.9

12、.5因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,所以a=5.10.2由已知可得a=1,c=1+m,所以e=ca=1+m=3,解得m=2.11.y=22x解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+p2,|BF|=y2+p2,|OF|=p2,由|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程,得x2a2-y2b2=1,x2=2py2pya2-y2b2=1y2b2-2pya2+1=0.由根与系数的关系得y1+y2=-2pa21b2=2pa2b2=2b2a2p.解法二设

13、A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+p2,|BF|=y2+p2,|OF|=p2,由|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=x222p-x122px2-x1=x2+x12p.由x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,得kAB=y2-y1x2-x1=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2a2x1+x2p,则b2a2x1+x2p=x2+x12p,b2a2=12ba=22,双曲线的渐近线方程为y=22x.12.2如图D 10-2-2,由题意不妨设|A

14、B|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在RtBMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=(32)2+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,而2c=|MN|=2,所以双曲线的离心率e=2c2a=2.图D 10-2-213.126依题意,双曲线C:x2-y28=1的右焦点为F(3,0),实半轴长a=1,左焦点为M(-3,0),因为P在C的左支上,所以APF的周长l=|AP|+|PF|+|AF|PF|+|AF|+|AM|-|PM|=|AF|+|AM|+2a=15+15+2=32,当且仅当A,P,M三点共线且P在A,M中间时

15、取等号,此时直线AM的方程为x-3+y66=1,与双曲线的方程联立得P的坐标为(-2,26),此时,APF的面积为12666-12626=126.A组基础题1.D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-y24=1,故选D.2.B由已知得ba=2,所以e=ca=a2+b2a2=5a2a2=5,故选B.3.A不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=

16、2c,即|PF2|为最小边,即PF1F2=30,则PF1F2为直角三角形,所以2c=23a,所以b=2a,即渐近线方程为y=2x,故选A.4.B根据题意知,双曲线的焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax.因为直线l平行于双曲线C的一条渐近线,所以ba=2.直线l:y=2x-2与x轴的交点坐标为(1,0),即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0),所以a=1,则b=2a=2,故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2,故选B.5.D2|PF1+PF2|F1F2|,4|OP|2c,即|OP|c2.又|OP|a,ac2,即c2a,e=ca2.故选D.6.C易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0)

17、,恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5.同理|PM|-|PN|的最小值为(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C.组提升题7.C易知双曲线的渐近线方程为y=bax,则点F(c,0)到渐近线的距离为|bc|a2+b2=bcc=b,即圆F的半径为b.令x=c,则y=bc2a2-1=b2a,由题意,得b=b2a,即a=b,所以双曲线的离心率e=1+b2a2=2

18、,故选C.8.C如图D 10-2-3,直线PF2的方程为y=-ab(x-c),设直线PF2与直线y=bax的交点为N,易知N(a2c,abc).又线段PF2的中点为N,所以P(2a2-c2c,2abc).因为点P在双曲线C上,所以(2a2-c2)2a2c2-4a2b2c2b2=1,即5a2=c2,所以e=ca=5.故选C.图D 10-2-39.B双曲线C:x216-y29=1中,a=4,b=3,c=5,右焦点F(5,0),渐近线方程为y=34x.不妨设M在直线y=34x上,N在直线y=-34x上,则直线MF的斜率为-43,其方程为y=-43(x-5),设M(t,34t),代入直线MF的方程,得

19、34t=-43(t-5),解得t=165,即M(165,125).由对称性可得N(165,-125),所以直线MN的方程为x=165.设P(m,n),则d=|m-165|,m216-n29=1,即n2=916(m2-16),则|PF|=(m-5)2+n2=14|5m-16|.故d|PF|=|m-165|14|5m-16|=45,故选B.10.43由题意知,F(-c,0).不妨令A(0,b),则直线AF:y=bcx+b.因为直线AF与渐近线y=bax相交,联立得y=bcx+b,y=bax,消去x,得yB=bcc-a.由AB=3FA,得yB=4b,所以bcc-a=4b,化简得3c=4a,所以离心率e=43.