2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章　函数、导数及其应用 2.9　函数模型及其应用 .docx

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1、29函数模型及其应用 知识梳理1七类常见函数模型2指数、对数、幂函数模型的性质3解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键(3)易忽视实

2、际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性诊断自测1概念思辨(1)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()(3)当a1时，不存在实数x0，使.()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化 (1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 20.3010，lg

3、 30.4771，lg 1092.0374，lg 0.092.9543)()A2015年 B2011年 C2010年 D2008年答案B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a(19%)x4a.x16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01Ay2x2 By(x21)Cylog2x Dylogx答案B解析由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增

4、大越来越快A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，排除A，C，D，B中函数y(x21)符合题意故选B.3小题热身(1) (2018湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 _千克答案解析前10天满足一次函数关系，设为ykxb，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得解得k，b，所以yx，则当x6时，y.(2)(2017朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函

5、数模型：f(x)pqx(q0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.答案x28x17解析()因为f(x)pqx，f(x)logqxq是单调函数，f(x)x2pxq中，f(x)2xp，令f(x)0，得x，f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f(x)x2pxq.()f(1)10，f(3)2，解得p8，q17，f(x)x28x17，故答案为；x28x17.题型1二次函数及分段函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在

6、国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之解(1)当x200,300时，设该项目获利为S，则S200xx2400x80000(x400)2，所以当x200,300时，S0

7、，因此该单位不会获利当x300时，S取得最大值5000，当x200时，S取最小值20000，所以国家每月补偿数额的范围是5000,20000(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为当x120,144)时，x280x5040(x120)2240，所以当x120时，取得最小值240.当x144,500时，x2002 200200，当且仅当x，即x400时，取得最小值200.因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建

8、一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解2实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决见典例3实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域(2)对构建的较复杂的函数

9、模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解冲关针对训练(2017广州模拟)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)设A，B两种产品分别投资x万元(x0)，所得利润分别为f(x)，g(x)万元由题意可设f(x)k

10、1x，g(x)k2(x0)，所以根据图象可解得f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元则y(18x)2，0x18.令t，t0,3 ，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，此时x16,18x2，所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元题型2指数函数模型(2017西安模拟)我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P的关系近似满足：yP(x)2(1kt)(xb

11、)2(其中t为关税的税率，且t，x为市场价格，b，k为正常数)，当t时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b，k的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)2.当PQ时的市场价格称为市场平衡价格为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值本题用函数思想，采用换元法解方法技巧构建指数函数模型的关注点1指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决2应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解冲关针对

12、训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210，log1.0121.215.3)解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)

13、2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)所以10年后该城市人口总数约为112.7万人(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，于是1.012x，所以xlog1.012log1.0121.215.315(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人题型3对数函数模型某企业根据分析和预测，能获得10万1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进

14、行奖励，方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数yf(x)模拟此方案(1)写出模拟函数yf(x)所满足的条件；(2)试分析函数模型y4lg x3是否符合此方案要求，并说明理由用函数思想，采用导数法解(1)由题意，yf(x)所满足的条件是：f(x)在10,1000上为增函数，f(x)9，f(x)x.(2)对于y4lg x3，显然在10,1000上是增函数，满足条件.当10x1000时，4lg 103y4lg 10003，即1y9，满足条件.证明如下：f(x)x，即4lg x3x，对于x10,1000恒成立令g(x)4lg

15、 x3x，x10,1000，g(x)，e，lg elg，20lg e10，又x10，20lg ex0，g(x)0对于x10,1000恒成立，g(x)在10,1000上是减函数g(x)g(10)4lg 1031010，因此x1，故选D.3(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析依题意有192eb,48e22kbe22keb，所以e22k，所以e11k或(舍去)，于是该食品在33 的保

16、鲜时间是e33kb(e11k)3eb319224(小时)4(2017江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y4(x6)2，其中2x6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格x的值，其使该店每日销售产品A所获得的利润最大(保留1位小数)解(1)当x4时，y4(46)221千件，此时该店每日销售产品A所获得的利润为(42)2142千元(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)(x2)104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f

17、(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在上，f(x)0，函数f(x)单调递减所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/件时，利润最大 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x2.01.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则y关于x的函数关系与下列函数最接近的(其中a，b为待定系数)是()Ayabx ByabxCyax2b Dya答案B解析由x0时，y1，排除D；由f(1.0)f(

18、1.0)，排除C；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2(2017云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是()A2.4元 B3元 C2.8元 D3.2元答案B解析设每本定价x元(x2)，销售

19、总收入是y元，则yx104x(92x)9104.2x29x90x3，故选B.4(2017南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处答案A解析设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1，y2k2x，解得k120，k2.设总费用为y，则y28.当且仅当，即x5时取等号故选A.5(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的

20、里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8

21、 L汽油，所以C错误；对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确故选D.6(2017北京朝阳测试)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaen t假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为()A7 B8 C9 D10答案D解析根据题意知e5n，令aaen t，即en t，因为e5n，故e15n，比较知t15，m15510.故选D.7(2016天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有

22、一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元 C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y依题有(p0.25)%，解得x320.故选D.8(2017北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是()A投资3天以内(含3天)，采用方案一B投资4天，不采用方案三C投资6天，采用方案一D投资12天，采用方案二答案D解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天

23、，方案一的回报约为404160(元)，方案二的回报约为10203040100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为406240(元)，方案二的回报约为102030405060210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误故选D.9(2017福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8

24、 B9 C10 D11答案C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为n，由n0.1)(2)由t0.10.25，得t0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室三、解答题15(2017济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益据估算，若今年的实际销售单价为x元/件(1x2)，则新增的年销量P4(2x)2(万件)(1)写出今年商户甲的收益f(x)(单位：万元)与x的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多

25、)？请说明理由解(1)由题意可得：f(x)14(2x)2(x1)，1x2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元f(x)8(x2)(x1)14(2x)212x240x33(2x3)(6x11)，可得当x时，函数f(x)单调递增；当x时，函数f(x)单调递减；当x时，函数f(x)单调递增x时，函数f(x)取得极大值，f1；又f(2)1.当x或x2时，函数f(x)取得最大值1(万元)因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益16(2017北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元若甲、乙两个

26、工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)a1x24x6，g(x)a23xb2(a1，a2，b2R)(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年110月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况解(1)依题意：由f(1)6，解得a14，所以f(x)4x24x6.由得解得a2，b25，所以g(x)3x53x15.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f(5)86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)86万元，故有f(5)g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年110月份甲、乙两个工厂的利润：当x1或x5时，有f(x)g(x)；当x2,3,4时，有f(x)g(x)；当x6,7,8,9,10时，有f(x)g(x)