2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第2节 函数的单调性与最大（小）值 .doc

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1、第二节函数的单调性与最大(小)值考纲传真1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质(对应学生用书第9页) 基础知识填充1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间2函数的最大(小

2、)值前提函数yf(x)的定义域为D条件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)对于任意xD，都有f(x0)M(3)存在x0D，使得f(x)M；(4)对于任意xD，都有f(x0)M.结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0f(x)在D上是减函数(2)对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打

3、“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增加的()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|在R上是增加的()(4)函数yx22x在区间3，)上是增加的，则函数yx22x的单调递增区间为3，)()答案(1)(2)(3)(4)2(2017深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()Ayx3ByCyDyxC选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1x2(x1，x20)，则y2y1，因为x1x20，当x1，

4、x2同号时x1x20，0，当x1，x2异号时x1x20，0，所以函数y在定义域上不是单调函数，故选C3(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).4函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_由题意知2k10，得k.5f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.1,38f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.(对应学生用书第10页)函数单调性的判断(1)(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单

5、调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)(2)试讨论函数f(x)x(k0)的单调性 【导学号：00090017】(1)D由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t在t(0，)上为增函数欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).因为0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f(x1)f(x

6、2)，即函数在(，)上是增加的当x1，x2(0，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，)上是减少的考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上是增加的，在(，0)上是减少的综上，函数f(x)在(，)和(，)上是增加的，在(，0)和(0，)上是减少的法二：f(x)1.令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，)令f(x)0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，)故函数f(x)在(，)和(，)上是增加的，在(，0)和(0，)上是减少的规律方法1.函数yf(g(x)的单调性应根据外层

7、函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则2利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底3利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练1(1)(2016北京高考)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1)Dy2x(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(1)D(2)D(1)选项A中，y在(，1)和(1，)上是增加的，故y在(1,1)上是增加的；选项B中，y

8、cos x在(1,1)上先增后减；选项C中，yln(x1)在(1，)上是增加的，故yln(x1)在(1,1)上是增加的；选项D中，y2xx在R上是减少的，故y2x在(1,1)上是减少的(2)由x240得x2或x2，所以函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知f(x)，x1，)，且a1.(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围思路点拨(1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根

9、据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论解(1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增加的，f(x)minf(1)12.4分(2)f(x)x2，x1，)法一：当a0时，f(x)在1，)上是增加的f(x)minf(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.7分当0a1时，f(x)在1，)上是增加的，f(x)minf(1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.12分法二：f(x)x20，x1，x22xa0，8分a(x22x)，而(x22x)在x1时取得最大值3，3a1，

10、即a的取值范围为(3,1.12分规律方法利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b上是增加的，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b上是减少的呢？变式训练2(1)函数f(x)的最大值为_(2)(2016北京高考)函数f(x)(x2)的最大值为_. 【导学号：00090018】(1)2(2)2(1)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.(2)法一：f(x)，x2时，f(x)0恒成

11、立，f(x)在2，)上是减少的，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图像是将y的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的y在1，)上是减少的，f(x)在2，)上是减少的，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1.x2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值为2.函数单调性的应用角度1比较大小(2017河南百校联盟质检)已知f(x)2x2x，a，b，clog2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()Af(b)f(a)f(c)Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b)Df(b)f(c)f(a)B

12、易知f(x)2x2x为单调递增函数，而ab0，clog20，所以f(c)f(b)f(a)，故选B角度2解不等式(2017湖北重点高中联合协作体联考)已知函数f(x)x3sin x，x(1,1)，则满足f(a21)f(a1)0的a的取值范围是()A(0,2)B(1，)C(1,2)D(0，)B由题意知f(x)(x)3sin(x)x3sin x(x3sin x)f(x)，x(1,1)，f(x)在区间(1,1)上是奇函数；又f(x)3x2cos x0，f(x)在区间(1,1)上是增加的，f(a21)f(a1)0，f(a1)f(a21)，f(1a)f(a21)，解得1a，故选B角度3求参数的取值范围(1

13、)若函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A BCD(2)已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_(1)D(2)(2,3(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上是增加的；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上是增加的，所以a0，且4，解得a0.综上所述，实数a的取值范围是.(2)要使函数f(x)在R上是增加的，则有即解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3规律方法1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值