2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 .doc

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1、第十二节导数与函数的极值、最值考纲传真1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)(对应学生用书第34页) 基础知识填充1函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值(2)极大值点与极小值点若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点(3)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f

2、(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识拓展1对于可导函数f(x)，f(x)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2求函数在无穷区间(或开区间)上的最

3、值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为

4、()图2121A1B2C3D4A导函数f(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件Cyx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件4(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4D2D由题意得f(x)3x

5、212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上是增加的，在(2,2)上为减函数，在(2，)上是增加的f(x)在x2处取得极小值，a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_. 【导学号：00090069】8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.(对应学生用书第35页)利用导数研究函数的极值问题角度1根据函数图像判断极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图2122所示，则下列结论中一定成立的是()图2122A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1

6、)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度2求函数的极值求函数f(x)xaln x(aR)的极值 【导学号：00090070】解由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；5分(2)当a0时，由f(x)0，解得xA又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)

7、0，9分从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.12分角度3已知极值求参数(1)(2018青岛模拟)若函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为()A2B6C2或6D2或6(2)(2018广州一模)若函数f(x)x(xa)2在x2处取得极小值，则a_.(1)B(2)2(1)函数f(x)x(xc)2x32cx2c2x，它的导数为f(x)3x24cxc2，由题意知，在x2处的导数值为128cc20，c6，或c2，又函数f(x)x(xc)2在x2处有极

8、大值，故导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数当c2时，f(x)3x28x43(x2)，不满足导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数当c6时，f(x)3x224x363(x28x12)3(x2)(x6)，满足导数值在x2处左侧为正数，右侧为负数，故c6.故选B(2)求导函数可得f(x)3x24axa2，f(2)128aa20，解得a2，或a6，当a2时，f(x)3x28x4(x2)(3x2)，函数在x2处取得极小值，符合题意；当a6时，f(x)3x224x363(x2)(x6)，函数在x2处取得极大值，不符合题意，a2.规律方法利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(2017郑州

9、模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)单调递减ek1单调递增所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).5分(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，7分当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上是减少的，在(k1,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(

10、k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上是减少的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.12分规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值变式训练1(2018南昌模拟)函数yxex，x0,4的最小值为()A0 BCDAf(x)，当x0,1)时，f(x)0，f(x)单调递

11、增，当x(1,4时，f(x)0，f(x)单调递减，f(0)0，f(4)0，当x0时，f(x)有最小值，且f(0)0.利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 【导学号：00090071】解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销

12、售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.7分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)是增加的极大值42是减少的由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答变式训练2某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_40由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y0；x40时，y0.所以当x40时，y有最小值