2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示 .doc

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1、第二节平面向量基本定理及坐标表示 考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(对应学生用书第59页) 基础知识填充1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于

2、a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向

3、量都可以作为一组基底()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5BCD13B因为ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3(2018洛阳模拟)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A4(2016全国卷)已知向量a(m

4、,4)，b(3，2)，且ab，则m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得(对应学生用书第60页)平面向量基本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De13e2与6e22e1(2)(2018太原模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_. 【导

5、学号：00090130】(1)D(2)(1)选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组 变式训练1如图421，在梯形ABCD中，ADBC，

6、且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，则_，_，_(用向量a，b表示)图421babaabbabba，bba，baB平面向量的坐标运算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(

7、9,2)，N(9,2)，(9，18)规律方法1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练2(2017合肥三次质检)已知a(1，t)，b(t，6)，则|2ab|的最小值为_2由条件得2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，当t2时，|2ab|的最小值为2.平面向量共线的坐标表示已知a(1,0)，b(

8、2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值. 【导学号：00090131】解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：A、B、C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.法二：2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)A、B、C三点共线，.8m3(2m1)0，即2m30，m.规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要

9、条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则bA2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3(1)(2017郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又为锐角，所以.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.