2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第5章　数列 5.2　等差数列及其前n项和 .docx

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1、52等差数列及其前n项和知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN*)，d为常数(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d，可推广为anam(nm)d.(2)等差数列的前n项和公式Snna1d.3等差数列的相关性质已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)有

2、穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1ana2an1a3an2akank1.(2)等差数列an中，当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apaman(m，n，pN*)(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(5)也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的.4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递

3、增数列；当d0，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值诊断自测1概念思辨(1)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P38例1(1)已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_答案487解析由条件易知该等差数列的首项为a18，公差d5，得an8(n1)55n13，故a100487.(

4、2)(必修A5P68A组T8)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.3小题热身(1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97答案C解析设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得ana1(n1)dn2，a100100298.故选C.(2)(2017福建宁德一模)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a23a46，则S9等于()A54 B50 C27 D25答案C解析数列an为等差数列，设

5、公差为d，则a4a22d，a23(a22d)6，2a26d60.a23d3，即a53，那么S99a527.故选C.题型1等差数列基本量的运算(2017广东惠州调研)设an是首项为，公差为d(d0)的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d()A1 B C. D.方程思想方法答案A解析Snna1d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S1S4S，即a1(4a16d)(2a1d)2，因为a1，所以(26d)(1d)2，即d2d0，解得d0或d1.又因为d0，所以d1.故选A.(2017碑林区期末)设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1_.方程

6、思想，注意设中间项答案2解析由题可知3a212，(a2d)a2(a2d)48，将代入得(4d)(4d)12，解得d2或d2(舍)，a1a2d422.方法技巧1等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想见典例1.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法2等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad，ad，其

7、余各项再依据等差数列的定义进行对称设元见典例2.冲关针对训练1(2018福建质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”在这个问题中，前5天应发大米()A894升 B1170升 C1275升 D1467升答案B解析每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等

8、差数列，则前5天的总人数为5647390，所以前5天应发大米39031170升故选B.2(2015北京高考)设an是等差数列下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10答案C解析因为an为等差数列，所以2a2a1a3.当a2a10时，得公差d0，a30，a1a32，2a22，即a2.故选C.题型2等差数列的判断与证明(2018长春质检)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足an1Sn2n1(nN*)证明：数列为等差数列利用an1Sn1Sn整理变形证明由条件可知，Sn1SnSn2n1，即Sn12Sn2n1，整理得1，所以数列是以1为首项

9、，1为公差的等差数列条件探究将典例条件“an1Sn2n1(nN*)”变为“2an1anan11(n2)”其他不变，证明数列是等差数列，并求an通项公式解当n2时，an2，1(常数)又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列1(n1)1，an.方法技巧判定数列an是等差数列的常用方法1定义法：对任意nN*，an1an是同一个常数见典例2等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.3通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数4前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断见冲关针对训练冲关针对训练(2014全

10、国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设anan1Sn1，知an1an2Sn11.两式相减得，an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)存在由a11，a1a2a11，可得a21，由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得，a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n11(n1)44n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n3(n1)44n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得an为等差数列.题型

11、3等差数列前n项和及性质的应用角度1等差数列的前n项和(2018太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，求该数列的公差d.利用S偶S奇nd(项数为2n)求解解设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.角度2等差数列前n项和的最值问题(2017北京海淀模拟)等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？二次函数法求最大值解由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0，a2016a

12、20170，a2016a20170，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2016 B2017 C4032 D4033答案C解析因为a10，a2016a20170，a2016a20170，所以d0，a20160，a20170，所以S40320，S40334033a20170，所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4032.故选C.8(2017湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(u)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1

13、寸表示115寸1分(1寸10分)已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为()A72.4寸 B81.4寸 C82.0寸 D91.6寸答案C解析设易经中记录的冬至、小寒、大寒、立春、夏至的晷影长依次为a1，a2，a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d，由a1130.0，a1314.8，得130.012d14.8，解得d9.6.a6130.09.6582.0.易经中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸故选C.9(2017安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn.若对任意的nN*，都有bn

14、b8成立，则实数a的取值范围是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7答案A解析因为an是首项为a，公差为1的等差数列，所以anna1，因为bn，又对任意的nN*，都有bnb8成立，所以11，即对任意的nN*恒成立，因为数列an是公差为1的等差数列，所以an是单调递增的数列，所以即解得8a7.故选A.10(2018云南二检)已知等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，如果当nm时，Sn最小，那么m的值为()A10 B9 C5 D4答案C解析设等差数列an的公差为d.由已知得22，所以11a622，解得a62，所以d7，所以ana4(n4)d7n40，所以数列an是单调递增数

15、列，又因为a550，所以当n5时，Sn取得最小值，故选C.二、填空题11(2014北京高考)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，即a80.又a8a9a7a100，a90，则公差d，显然不成立，所以m0)为增函数，所以2n1521159，所以9，故实数的最大值为9.三、解答题15(2017中卫一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列(1)若a1，b，求sinC；(2)若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状解(1)由ABC，2BAC，得B.由，得，得sinA，又0AB，A，则C.sinC1.(2)由2bac，得4b2a22acc2，又b2a2c2ac，得4a24c24aca22acc2，得3(ac)20，ac，AC，又AC，ACB，ABC是等边三角形16(2018郑州模拟)数列an满足a1，an1(nN*)(1)求证：为等差数列，并求出an的通项公式；(2)设bn1，数列bn的前n项和为Bn，对任意n2都有B3nBn成立，求正整数m的最大值解(1)因为an1，所以1，即1，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以2(n1)(1)(n1)，所以an.(2)bn1，令CnB3nBn，所以Cn1Cn0，Cn1Cn0，Cn为单调递增数列，又n2，(B3nBn)minB6B2，m19.又mN*，所以m的最大值为18.