2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第7章　立体几何 7.4　直线、平面平行的判定与性质 .docx

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1、74直线、平面平行的判定与性质知识梳理1直线与平面平行的判定定理和性质定理2平面与平面平行的判定定理和性质定理3必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行诊断自测1概念思辨(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线 a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两

2、个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P61T1(2)如果直线a平行于平面，直线ba，则b与的位置关系是 ()Ab与相交 Bb或bCb Db答案B解析两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线ba，可知若b与相交，则a与也相交，而由题目已知，直线a平行于平面，所以b与不可能相交，所以b或b.故选B.(2)(必修A2P58T3)已知m，n表示两条不同的直线，表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是()若m，n，且mn，则；若m，n相交且都在，外，m，m，n，n，则；

3、若m，m，则；若m，n，且mn，则.A1 B2 C3 D4答案A解析仅满足m，n，mn，不能得出，此命题不正确；设m，n确定平面为，则有，从而，此命题正确；均不满足两个平面平行的条件，故均不正确故选A.3小题热身(1)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析选项A，B，C显然错误PA平面ABC，PDA是直线PD与平面ABC所成的角ABCDEF是正六边形，AD2AB.tanPDA1，直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.(2)已知a，b

4、，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，现给出六个命题：ab；ab；a；a.其中正确的命题是_(填序号)答案解析由三线平行公理，知正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故错误；面面平行具有传递性，故正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故错误题型1平行关系命题的真假判定(2018豫西五校联考)已知m，n，l1，l2表示不同直线，表示不同平面，若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是

5、()Am且l1 Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2排除法答案D解析对于选项A，当m且l1时，可能平行也可能相交，故A不是的充分条件；对于选项B，当m且n时，若mn，则，可能平行也可能相交，故B不是的充分条件；对于选项C，当m且nl2时，可能平行也可能相交，故C不是的充分条件；对于选项D，当ml1，nl2时，由线面平行的判定定理可得l1，l2，又l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到，但时，ml1且nl2不一定成立，故D是的一个充分条件故选D.方法技巧解决平行关系命题真假判断的一般思路1判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题

6、，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确3结合实物进行空间想象，比较判断冲关针对训练(2017山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，n，则答案C解析对于A，墙角的三个墙面，满足条伴，但与相交，故A错误；m，n，且m，n平行于，的交线时符合B中条件，但与相交，故B错误；由mn，m可推出n，结合n可推出，故C正

7、确；由D中的条件得与可能平行也可能相交，故D错误所以选C.题型2直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定与性质(2017保定期中)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点(1)求证：PB平面EAC；(2)若M是CD上异于C、D的点，连接PM交CE于G，连接BM交AC于H，求证：GHPB.利用中位线证线线平行从而证线面平行，利用线面平行证线线平行证明(1)连接BD，交AC于O，连接EO，则O是BD的中点又E是PD的中点，PBEO.PB平面EAC，EO平面EAC，PB平面EAC.(2)由(1)知PB平面EAC，又平面PBM平面EACGH，根据线面平行的性质定理得GHP

8、B.角度2直线与平面平行的探索性问题(2018包河月考)在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21，平面PAB平面PCDl.(1)证明：lCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论通过证明面面平行来证明线面平行证明(1)菱形ABCD，ABCD，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD，又AB平面PAB，平面PAB平面PCDl，ABl，ABCD，lCD.(2)当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.证明如下，如图取PE的中点M，连接FM，由于M为PE中点，F为PC中点，所以FMCE.由M为PE中点，得EMPE

9、ED，知E是MD的中点，连接BM，BD，设BDACO，因为四边形ABCD是菱形，则O为BD的中点，由于E是MD的中点，O是BD的中点，所以BMOE.由FMCEBMOE知，平面BFM平面AEC，又BF平面BFM，所以BF平面AEC.方法技巧线面平行问题的证明策略1证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行注意说明已知的直线不在平面内2判断或证明线面平行的方法：线面平行的定义(反证法)；线面平行的判定定理；面面平行的性质定理3线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在

10、，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明冲关针对训练(2017济南一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB2，DAB60，EFAC，EF.求证：FC平面BDE.证明设ACBDO，连接EO.底面ABCD是菱形，DAB60，OC.EFAC，EFOC，EFCO为平行四边形，FCEO，FC平面BDE，EO平面BDE，FC平面BDE.题型3平面与平面平行的判定与性质如图所示，在三棱柱ABCA

11、1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，A1G綊EB.四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.条件探究在典

12、例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.所以BC1D1O，则1.同理可证AD1DC1，则，1，即1.方法技巧1判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行(2)证明两平面垂直于同一条直线(3)证明两平面与第三个平面平行2面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行(2)两平面平行，其中一个

13、平面内的任意一条直线与另一个平面平行提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线冲关针对训练(2018西安模拟)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解(1)证明：由题设知BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD

14、1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.1.(2017福建八校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A相交 B平行C异面 D相交或平行答案B解析如图，MC1平面DD1C1C，而平面AA1B1B平面DD1C1C，故MC1平面AA1B1B.2(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；

15、如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析对于，由mn，m可得n或n在内，当n时，与可能相交，也可能平行，故错误；对于，过直线n作平面与平面交于直线c，由n可知nc，m，mc，mn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有.3(2018河北唐山统考)在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为_答案8解析过点G作EFAC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作ENPB，FMPB，分别交A

16、B，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EFMNAC2，FMENPB2，所以截面的周长为248.4(2018石家庄质检)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC3，PA4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC3PN.(1)求证：MN平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离解(1)证明：在平面PBC内作NHBC交PB于点H，连接AH，在PBC中，NHBC，且NHBC1，AMAD1.又ADBC，NHAM且NHAM，四边形AMNH为平行四边形，MNAH.又AH平面PAB，MN平面PAB，MN

17、平面PAB.(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h. 由题意可得CD2，AC2，SPACPAAC4，SAMCAMCD，由VMPACVPAMC，得SPAChSAMCPA，即4h4，h，点M到平面PAN的距离为. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2018南开模拟)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析若两条直线和同一平面所成角相等，

18、这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.2下列命题中，错误的是()A三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B平面平面，a，过内的一点B有唯一的一条直线b，使baC，的交线为a，b，c，d，则abcdD一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案D解析D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，直线AB与，都成45

19、角，但l.故选D.3(2018福建联考)设l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：若ml，且m，则l；若ml，m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则lm.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析对，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故正确；对，直线l可能在平面内，故错误；对，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故错误；对，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确综上正确故选B.4(2018昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与

20、平面BDH的关系是()AMN平面BDHM BMN平面BDHCMN平面BDH DMN平面BDH答案C解析连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示M，N分别是BC，GH的中点，OMCD，且OMCD，NHCD，且NHCD，OMNH，OMNH，则四边形MNHO是平行四边形，MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，MN平面BDH.故选C.5如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则ABC与ABC面积的比为()A25B38C49D425答案D解析平面平面ABC，平面PABAB，平面PAB平面ABCA

21、B，ABAB.又PAAA23，ABABPAPA25.同理BCBCACAC25.ABC与ABC相似，SABCSABC425，故选D.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行 C垂直 D不能确定答案B解析连接CD1，在CD1上取点P，使D1P，MPBC，PNAD1.MP平面BB1C1C，PN平面AA1D1D.平面MNP平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.故选B.7(2018宜昌一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AM2MA1，BN2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，

22、AC于点E，F，则()AMFNEB四边形MNEF为梯形C四边形MNEF为平行四边形DA1B1NE答案B解析在平行四边形AA1B1B中，AM2MA1，BN2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN平面ABC，AB平面ABC，所以MN平面ABC.又MN平面MNEF，平面MNEF平面ABCEF，所以MNEF，所以EFAB，显然在ABC中，EFMN，EFMN，所以四边形MNEF为梯形故选B.8(2017安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ()A4条 B6条 C8条 D12条答案D解析如图所示，在平行六面体ABCDA1

23、B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求故选D.9(2018河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是 ()答案C解析过M作MQDD1，交AD于Q，连接QN.MN平面DCC1D1，MQ平面DCC1D1，MNMQM，平面MNQ平面D

24、CC1D1，又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx.2，MQ2x.在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21，y24x21(x0，y1)，函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分故选C.10(2018昆明模拟)在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A. B. C45 D45答案A解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，故

25、AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积SHFHD.故选A.二、填空题11如图，四边形ABDC是梯形，ABCD，且AB平面，M是AC的中点，BD与平面交于点N，AB4，CD6，则MN_.答案5解析AB平面，AB平面ABDC，平面ABDC平面MN，ABMN.又M是AC的中点，MN是梯形ABDC的中位线，故MN(ABCD)5.

26、12如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案平面ABC、平面ABD解析连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由，得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD.13正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为_cm2.答案解析如图所示，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，E为DD1的中点，SACE(cm2)14如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1

27、，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案M位于线段FH上(答案不唯一)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.B级三、解答题15(2018石家庄质检二)如图，在三棱柱ABCDEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且ABE，BC.点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG，点M在线段CF上，且CMCF.(1)证明：直线GM平面DEF；(2)求三

28、棱锥MDEF的体积解(1)证明：点F在平面ABED内的正投影为G，FG平面ABED，FGGE.又BCEF，FG，GE.四边形ABED是边长为2的菱形，且ABE，AE2，AG.如图，过点G作GHAD交DE于点H，连接FH.则，GH，由CMCF得MFGH.易证GHADMF，四边形GHFM为平行四边形，MGFH.又GM平面DEF，GM平面DEF.(2)由(1)知GM平面DEF，连接GD，则有VMDEFVGDEF.又VGDEFVFDEGFGSDEGFGSDAE，VMDEF.16(2018郑州质检二)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M为AB的三等分点，现将AMD沿MD折起，使平面AMD

29、平面MBCD，连接AB，AC.(1)在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离解(1)当APAB时，有AD平面MPC.理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP.在梯形MBCD中，DCMB，ADB中，ADPN.AD平面MPC，PN平面MPC，AD平面MPC.(2)平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，平面AMD中AMDM，AM平面MBCD.VPMBCSMBC21.在MPC中，MPAB，MC，又PC，SMPC .点B到平面MPC的距离为d.17(2018简阳市模拟)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，

30、Q分别是PA，BD，PD的中点(1)求证：MNPC；(2)求证：平面MNQ平面PBC.证明(1)由题意：PABCD是四棱锥，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，连接AC，N是AC的中点MN是三角形ACP的中位线，MNPC.(2)由(1)可得MNPC.M，Q分别是PA，PD的中点，MQ是三角形ADP的中位线，MQAD.又由ADBC，MQBC.由MQBC，MNPC，BC平面PBC，PC平面PBC，BCPCC，同理MQ平面MNQ，MN平面MNQ，MQMNM.平面MNQ平面PBC.18(2018德州模拟)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，CEB

31、D.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明(1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD，知COBD.又CEBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.又因为O是BD中点，所以BEDE.(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30.所以DNBC.又DN平面BEC, BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.