2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第7章 第5节 垂直关系 .doc

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1、第五节垂直关系考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题(对应学生用书第104页) 基础知识填充1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任何直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平

2、面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l知识拓展1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直3两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等

3、，则这两条直线平行()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确3(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmnCl，l.n，nl.4如图751，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 【导学号：00090253】图7514PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由

4、BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC因此ABC，PBC也是直角三角形5边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_a如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AOC是二面角ABDC的平面角即AOC90，又AOCOa，ACa，即折叠后AC的长(AC)为A(对应学生用书第105页)线面垂直的判定与性质如图752所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：图752(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，且

5、PAACA，CD平面PAC而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPAE是PC的中点，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD又PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PAAB又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，PD平面ABE.规律方法1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理2证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关

6、系(2)利用等腰三角形底边中线的性质(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质 变式训练1如图753所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DFAB，PH为PAD中AD边上的高图753(1)证明：PH平面ABCD；(2)证明：EF平面PAB证明(1)因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD因为ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD (2)如图所示，取PA的中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边

7、形MEFD是平行四边形，所以EFMD因为PDAD，所以MDPA因为AB平面PAD，所以MDAB因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB面面垂直的判定与性质(2017郑州调研)如图754，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点图754(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH. 证明(1)如图所示，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.1分在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，由于HM平面FGH，

8、BD平面FGH，故BD平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB6分由ABBC，得GHBC又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.10分由于CFBC，所以HEBC又HE，GH平面EGH，HEGHH.所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.12分规律方法1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化

9、关系：变式训练2(2017全国卷)如图755，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90。(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积图755解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD2分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD4分(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD6分设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.8分由题设

10、得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.10分可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.12分平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明(2018潍坊模拟)在如图756所示的空间几何体中，EC平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CEBF，且CE2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点求证：(1)GH平面BCEF；(2)FP平面ACE. 【导学号：00090254】图756证明(1)取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN.则HM綊DC，GN綊AB，2分ABCD，ABCD，HM綊GN，HMNG是平行四边形，

11、GHMN，4分GH平面BCEF，MN平面BCEF，GH平面BCEF；6分(2)连接BD，与AC交于O，连接OP，则OP綊FB，PFBO是平行四边形，8分PFBO，BOAC，BOEC，ACECC，BO平面ACE，10分FP平面ACE.12分规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用角度2平行垂直中探索开放问题(2017秦皇岛调研)如图757(1)所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图757(2)

12、所示【导学号：00090255】(1)(2)图757(1)求证：A1FBE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？并说明理由证明(1)由已知，得ACBC，且DEBC所以DEAC，则DEDC，DEDA1，因为DCDA1D，所以DE平面A1DC2分由于A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQBC又因为DEBC，则DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE平面A

13、1DC，所以DEA1C又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.12分规律方法1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点线面角的求法与应用(2016浙江高考)如图758，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，

14、BEEFFC1，BC2，AC3.图758(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值解(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，3分因此，BFAC又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD5分(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在RtBFD中，BF，DF，得cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.12分规律方法1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出

15、相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解变式训练3如图759，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点图759(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD解(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.5分(2)证明：在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA由条件CDAC，PAACA，所以CD平面PAC7分又AE平面PAC，所以AECD由PAABBC，ABC60，可得ACPA因为E是PC的中点，所以AEPC10分又PCCDC，故AE平面PCD12分