2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6　几何概型 .docx

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1、10.6几何概型知识梳理1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点3几何概型的概率公式P(A).诊断自测1概念思辨(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P137例2)在区间10,20内的所有实数中

2、，随机取一个实数a，则这个实数a13的概率是()A. B. C. D.答案C解析因为a10,13)，所以P(aP(C)P(D)P(B)故选A.3小题热身(1)(2018承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.答案C解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮依题意得0x4,0y4，其对应区域的面积为S4416.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|xy|2，如图，易知阴影区域的面积为

3、S16222212，P.故选C.(2)(2017贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案0.18解析由题意知，0.18.S正1，S阴0.18.题型1与长度(角度)有关的几何概型(2016全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.将时间长度转化为实数的区间长度，代入几何概型概率公式答案B解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8

4、：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：508：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1.故选B.(2015重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入几何概型公式答案解析设方程x22px3p20的两个根分别为x1，x2，由题意得，解得p1或p2，结合p0,5得p2,5，故所求概率为.条件探究1若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，

5、试求其概率解由4p24(3p2)0，解得1p2.所以无实根的概率为p.条件探究2若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率解欲使该方程有一正一负两根，只需解得pb0，a2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P1，故选B.2欧阳修的卖油翁中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是_答案解析由题意易得P.题型3与体积

6、有关的几何概型(2018兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B. C. D.答案C解析由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P.故选C.已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥PABCV三棱锥SABC的概率是_答案解析设三棱锥PABC的高为h.由V三棱锥PABCV三棱锥SABC，得SABChSABC3，解得h，即点P在三棱锥的中截面以下的空间点P满足V三棱锥PA

7、BCV三棱锥SABC的概率是P1.方法技巧与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A).求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积冲关针对训练1在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1答案B解析正方体的体积为：2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：r313，则点P到点O的距离大于1的概率为：11.故选B.2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内

8、随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_答案解析过M作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等若此时四棱锥MABCD的体积等于.只要M在截面以下即可小于，当VMABCD时，即11h，解得h，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P.1(2017全国卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方

9、形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知所求概率P.故选B.2(2015陕西高考)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B. C. D.答案B解析|z|1，(x1)2y21，表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为.易知直线yx与圆(x1)2y21相交于O(0,0)，A(1,1)两点，如图：OMA90，S阴影11.故所求的概率P.故选B.3(2018湖北华师一附中联考)在区间0,4上随机取两个实数x，y，使得x2y8的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，表示的平面区域为正方形

10、OBCD及其内部，x2y8(x，y0,4)表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P，故选D.4(2014福建高考)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案解析yex与yln x互为反函数，故直线yx两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可如图，S1exdxex|e1e0e1.S总阴影2S阴影2(e1S1)2e(e1)2，故所求概率为P.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017陕西榆林二模)若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B1 C. D.答案B解析当0x1时，f(x)”，即

11、P.故选C.3已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则1a240，得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R，则2a240，得2a2.故P2.P1P2.故选C.4(2017湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1 B. C. D1答案A解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，

12、故选A.5(2017铁岭模拟)已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A. B. C. D.答案C解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.故选C.6(2018沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9的概率是()A. B. C. D.答案B解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9的概率为P(A).所截得圆

13、的面积小于9的概率为P()1.故选B.7(2017福建宁德一模)若从区间(0，e)，(e为自然对数的底数，e2.71828)内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为()A. B. C1 D1答案A解析设随机选取的两个数为x，y，由题意得该不等式组在坐标系中对应的区域面积为e2，又不等式组在坐标系中对应的区域面积为edx2e，所求概率为，故选A.8(2017河南三市联考)在区间，内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1 B1 C1 D1答案B解析函数f(x)x22axb22有零点，需4a24(b22)0，即a2b22成立而a，b，建立平面直角坐标

14、系，满足a2b22，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P1.故选B.9(2018江西模拟)向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则MCD的面积小于的概率为()A. B. C. D.答案C解析设MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“MCD的面积等于”时，CDMECDEF，即MEEF，过M作GHAB，则满足MCD的面积小于的点M在CDGH中，由几何概型的概率公式得到MCD的面积小于的概率为.故选C.10(2018湖北襄阳优质高中联考)已知3x2dx，在矩形ABCD中，AB2，AD1，则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P，使得的概率为()A. B. C. D.答案D

15、解析由已知得3x2dx3x31.建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，C(2,1)，设P(x，y)，则(x，y)，(2,1)，故2xy，则满足条件的点P(x，y)使得2xy1，由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S2112，故所求概率为，故选D.二、填空题11. 如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率是_答案解析B60，C45，所以BAC75.在RtABD中，AD，B60，BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAM对应的平面区域为阴影部分由解得即E，|OE|，正方形O

16、EFG的面积为，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率公式可知所求的概率为1.三、解答题15(2018广东深圳模拟)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率解(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事

17、件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)内，属于几何概型该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D，三角形OAD的面积为S13.所求事件的概率为P.16设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x1,2，都有|f(x)g(x)|8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)ax，g(x).(1)若a1,4，b1,1,4，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a1,4，b1,4，求f(x

18、)和g(x)是“友好函数”的概率解(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)g(x)|(x1,2)所有的情况有x，x，x，4x，4x，4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同又当a0，b0时ax在上递减，在上递增；x和4x在(0，)上递增，对x1,2可使|f(x)g(x)|8恒成立的有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4种，P(A)，故所求概率是.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，a是从区间1,4中任取的数，b是从区间1,4中任取的数，点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域要使x1,2时，|f(x)g(x)|8恒成立，需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8，事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分P(B)，故所求的概率是.