2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布 10.9　离散型随机变量的均值、方差和正态分布 .docx

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1、109离散型随机变量的均值、方差和正态分布知识梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n，p)E(X)pnpD(X)p(1p)np(1p)

2、4正态曲线(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(是正态分布的期望，是正态分布的标准差)(2)正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散5正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx(即xa，xb，正态曲线及x

3、轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)(2)正态分布的三个常用数据P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.诊断自测1概念思辨(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数()(2)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的期望，是正态分布的标准差()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布()答案(1

4、)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A23P68T1)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4 C1 D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.故选A.(2)(选修A23P75A组T1)正态分布密度函数为，(x)e，x(，)，则总体的平均数和标准差分别为()A0和8 B0和4 C0和2 D0和答案C解析根据已知条件可知0，2，故选C.3小题热身(1)(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.

5、26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%答案B解析P(33)68.26%，P(66)95.44%，则P(36)(95.44%68.26%)13.59%.故选B.(2)(2018张掖检测)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)()A. B. C. D.答案B解析设涂0个面的小正方体有x个，涂1个面的小正方体有y个，涂2个面的小正方体有z个，涂3个面的小正方体有w个，则有0x1y2z3w256150，所以E(X)0123.故选B.题型1与二项

6、分布有关的期望与方差(2017山西太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖规则如下：1抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中2抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一

7、次或方案a、b各抽奖一次)已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？解(1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P.顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次此时中奖次数服从二项分布B.设所得奖金为w1元，则E(w1)3309.即顾客A所奖资金的期望为9元(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1.若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B1，由方案b中奖的次数服从二项分布B2，设所得奖金为w2元，则E(w2)23011510.5.若顾客A按方案b

8、抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3.设所得奖金为w3元，则E(w3)2159.结合(1)可知，E(w1)E(w3)E(w2)所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法1求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)冲关针对训练(2014辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售

9、量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(

10、2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.题型2离散型随机变量的均值与方差角度1求离散型随机变量的均值与方差(2016山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；

11、如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，EABCDBCDACDABDABC，由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)

12、P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(X2)，P(X3)，P(X4)2，P(X6).可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望E(X)012346.角度2均值与方差的应用问题(2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决

13、策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17

14、、18、19、20、21、22，P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(1

15、9200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.方法技巧1求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)理解的意义，写出可能的全部值(2)求取每个值的概率(3)写出的分布列(4)由均值的定义求E()(5)由方差的定义求D()2由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示，再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组)，然后求解3利用均值、方差进行决策的

16、方法：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策提醒：均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值的平均水平冲关针对训练(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关

17、如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200

18、,300,500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n12002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n0.4(12002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20

19、，则Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.题型3正态分布(2015湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(附：若XN(，2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544)A2386 B2718 C3413 D4772答案C解析由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0X1)0.68260.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0

20、.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413100003413.故选C.条件探究若将本典例中条件“曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线”变为“曲线C为正态分布N(1,1)的密度曲线”，则结果如何？解对于正态分布N(1,1)，可知1，1，正态曲线关于直线x1对称，故题图中阴影部分的面积为P(3X1)P(2X0)P(2X2)P(X)(0.95440.6826)0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为100000.13591359.方法技巧正态分布下两类常见的概率计算1利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知

21、识主要是正态曲线关于直线x对称，曲线与x轴之间的面积为1.2利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个冲关针对训练(2014全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买

22、了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6

23、826.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知XB(100,0.6826)，所以E(X)1000.682668.26.1(2017浙江高考)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2.若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)答案A解析E(1)0(1p1)1p1p1，同理，E(2)p2，又0p1p2，E(1)E(2)D(1)(0p1)2(1p1)(1p1)2p1p1p，同理，D(2)p2p.D(1)D(2)p1p2(pp)(p1p2)(1p

24、1p2)0p1p20，(p1p2)(1p1p2)0.D(1)D(2)故选A.2(2015湖北高考)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)答案C解析由题图可知102，12，P(Y2)P(X1)，故B错误；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，故C正确，D错误故选C.3(2018安徽模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102

25、)，则用电量在320度以上的户数约为()(参考数据：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%，P(3320)1P(280320)(195.44%)0.0228，00228100022.823，用电量在320度以上的户数约为23.故选B.4(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_.答案1.96解析由题意得XB(100,0.02)，D(X)1000.02(10.02)1.96.重点保分 两级优选练A级一、选择题1已知的分布列为101P则在下列式中：E()；D()；P(

26、0).正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析E()(1)1，故正确D()222，故不正确由分布列知正确故选C.2已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6答案B解析由已知随机变量XY8，所以Y8X.因此，求得E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4.故选B.3(2018广东茂名模拟)若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)()A2 B2或 C. D1答案C解析因为分布列中概率和为1，所以1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1，所以E(X).故

27、选C.4(2017青岛质检)设随机变量服从正态分布N(1，2)，则函数f(x)x22x不存在零点的概率为()A. B. C. D.答案A解析函数f(x)x22x不存在零点的条件是 22411.又N(1，2)，所以P(1)，即所求事件的概率为.故选A.5(2018山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，)，(2，2)和(3，3)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155175 cm范围内的校服大约要定制()A683套 B954套 C

28、972套 D997套答案B解析P(155175)P(1655216552)P(22)95.4%.因此服装大约定制100095.4%954套故选B.6(2018皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)已知参加本次考试的全市理科学生约9450人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()A1500 B1700 C4500 D8000答案A解析因为学生的数学成绩XN(98,100)，所以P(X108)1P(88X108)1P(X)(10.6826)0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.15879

29、4501500名，故选A.7(2017银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，(a，b，c(0,1)，已知他投篮得分的数学期望是2，则的最小值为()A. B. C. D.答案D解析由数学期望的定义可知3a2b2，所以(3a2b)6，当且仅当即a，b时取得等号故选D.8若X是离散型随机变量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，又已知E(X)，D(X)，则x1x2的值为()A. B. C3 D.答案C解析由已知得解得或又x1x2，x1x23.故选C.9(2018广州调研)已知随机变量x服从正态分布N(，2)，且P(2x2)0.9544，P(x)

30、0.6826，若4，1，则P(5x6)等于()A0.1358 B0.1359 C0.2716 D0.2718答案B解析由题知xN(4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P(2x6)0.9544，P(3x5)0.6826，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A，E，F，B的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x4对称，可知曲边梯形FBCG的面积为0.1359，即P(5x1.75，则p的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X1)p，发球二次的概率P(X2)p(1p)，发球三次的概率P(X3

31、)(1p)2，则E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3，依题意有E(X)1.75，则p23p31.75，解得p或p，结合p的实际意义，可得0p9)0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有12000.15 180辆14(2017安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E()E()_元答案3解析的分布列为56789PE

32、()(56789)7(元)的分布列为2468PE()24684(元)，E()E()743(元)故答案为3.B级三、解答题15(2018湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁)频数25,30)x30,35)y35,40)3540,45)3045,5010合计100(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在35,40)

33、内的人数为X，求X的分布列及数学期望解(1)由题意知，25,30)内的频率为0.0150.05，故x1000.055.因30,35)内的频率为1(0.050.350.30.1)10.80.2，故y1000.220，且30,35)这组对应的0.04.补全频率分布直方图略(2)年龄从小到大的各层人数之间的比为52035301014762，且共抽取20人，抽取的20人中，年龄在35,40)内的人数为7.X可取0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，故X的分布列为X012P故E(X)12.16新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌

34、张力这几个方面评分， 评分在810分者为正常新生儿，评分在47分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在710分之间某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况分数段0,7)7,8)8,9)9,10新生儿数1384(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望解(1)设Ai表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，“至多有

35、1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，则由表格中数据可知P(A)P(A0)P(A1).(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X0)3；P(X1)C12；P(X2)C21；P(X3)C3.所以X的分布列为X0123PE(X)01230.75.17(2015湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾

36、客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的数学期望和方差解(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.故X的数学期望为E(X)3，方差为D(X)3.18(2018江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取