2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第7章立体几何 7.2　空间几何体的表面积与体积 .docx

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1、7.2空间几何体的表面积与体积知识梳理1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2柱、锥、台和球的表面积和体积诊断自测1概念思辨(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3a2.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P28A组T3)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该

2、多面体的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.(2)(必修A2P29B组T1)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_答案7216解析由三视图易知该几何体是由一个长方体和一个直四棱柱构成的组合体(如图所示)其表面积为243222(26)22242467216.3小题热身(1)(2015北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4 C22 D5答案C解析根据三

3、视图画出该空间几何体的立体图：SABC222；SABD1；SCBD1；SACD2，所以S表SABCSABDSCBDSACD222.故选C.(2)(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_ cm3.答案7232解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中ABBC2 cm，BD4 cm，所以该几何体的体积V224232 cm3，表面积S(223243)236272 cm2.题型1空间几何体的侧面积与表面积(2016全国卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20

4、 B24 C28 D32搞清组合体构成部分，分别求其表面积答案C解析由三视图可得圆锥的母线长为4，S圆锥侧248.又S圆柱侧22416，S圆柱底4，该几何体的表面积为816428.故选C.方法技巧几何体表面积的求法1简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删或补2若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系提醒：求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积要减去冲关针对训练(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81答案B解析由三视图可知，

5、该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为3的平行六面体，则该几何体的表面积S2322332365418.故选B.题型2空间几何体的体积角度1根据几何体的三视图计算体积(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3还原几何体，分清组合体构成部分答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体的体积V12331.故选A.角度2根据几何体的直观图计算体积中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧

6、道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10, EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是()A110 B116 C118 D120此题应采用割补法求解答案D解析如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8，体积V158120.故选D.方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观

7、图，然后根据条件求解如角度1典例2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解如角度2典例冲关针对训练1(2014全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.答案C解析由三视图知该零件是两个圆柱的组合体一个圆柱的底面半径为2 cm，高为4 cm；另一个圆柱的底面半径为3 cm，高为2 cm.则零件的体积V122432234(cm3)而毛坯的体积V32654(cm3)，因此切削

8、掉部分的体积V2VV1543420(cm3)，所以.故选C.2(2017青岛模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的积体为_答案96解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896. 题型3几何体与球的切、接问题 (2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256变化中寻求不变的量答案C解析SOAB是定值，且VOABCVCOAB，当OC平面OAB

9、时，VCOAB最大，即VOABC最大设球O的半径为R，则(VOABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R2462144.故选C.条件探究1若典例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球所以体对角线BC1的长为球O的直径因此2R13.故S球4R2169.条件探究2若将典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(

10、4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.方法探究空间几何体与球接、切问题的求解方法1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题如条件探究1.冲关针对训练1(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.答案B解析设圆柱的底面半径为r，球的半径为R

11、，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r .圆柱的体积为Vr2h1.故选B.2正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_答案解析如图，设三棱锥ABCD的外接球的半径为r，M为正BCD的中心，因为BCCDBD，ABACAD2，AM平面BCD，所以DM1，AM，又OAODr，所以(r)21r2，解得r，所以球O的表面积S4r2.1.(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36答案B解析

12、(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.2(2017山西五校3月联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A50

13、00立方尺 B5500立方尺C6000立方尺 D6500立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315立方丈5000立方尺故选A.3(2018河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()A. B.C. D.答案D解析作如图所示的辅助线，其

14、中O为球心，设OG1x，则OB1SO2x.易知B1G1，在RtOB1G1中，OBG1BOG，则(2x)2x22，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积为S4R2.故选D.4(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_答案36解析如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3

15、，S球表4r236.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017东北五校联考)如左图所示，在三棱锥DABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90.若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为()A. B2 C. D.答案D解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面三角形ABC的边AB上的中线，其长度为，则其侧视图的面积为S2，故选D.2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D816答案A解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图)，其中长方体的长、

16、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以该几何体的体积V422224168.故选A.3(2018合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A726 B724 C486 D484答案A解析由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为162(164)24(22)726.故选A.4三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为()A4 B6 C8 D10答案C解析依题意，设题中球的球心为O、半径为R，ABC的外接圆半径为r，则，解得

17、R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距离为3，因此三棱锥PABC的高的最大值为538.故选C.5(2017广东广州一模)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12 C20 D24答案C解析如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以R，球O的表面积为4R220.故选C.6(2016山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体

18、，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A. B. C. D1答案C解析由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径2R，则R，所以半球的体积为R3，又正四棱锥的体积为121，所以该几何体的体积为.故选C.7(2018河南郑州质检)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为()A32 B32 C64 D64答案C解析由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC是直角三角形，ABBC，PA平面ABC，BC2，PA2y2102，(2)2PA2x2，因此xyxx64，当且仅当x2128x2，即x8时取

19、等号，因此xy的最大值是64.选C.8(2018福建质检)空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EFAB, EFCD.若AB8，CDEF4，则该球的半径等于()A. B. C. D.答案C解析如图，连接BF，AF，DE，CE，因为AEBE，EFAB，所以AFBF.同理可得ECED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，所以球心O必在EF上，连接OA，OC.设该球的半径为R，OEx，则R2AE2OE216x2，R2CF2OF24(4x)2，由解得R.故选C.9(2018雁塔区校级期末)在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中，最大的体积是

20、()A. B. C. D2答案A解析由题意可知，由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：下图中，由于324252，即图中AD平面BCD，V124；中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高小于4，于是得V2小于V1；右图中，高小于2，底面积5 .V32.最大体积为.故选A.10(2017衡水中学三调)已知正方体ABCDABCD的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为()A. B3或C2 D.或2答案B解析设正方体的棱长为a，依题意得，解得a1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为，

21、图2对应的几何体的表面积为3.故选B.二、填空题11(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.12(2016四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_答案解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为2，该三棱锥的体积为1.13(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2

22、的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_答案解析设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.14(2018太原模拟)已知三棱锥ABCD中，ABACBC2，BDCD，点E是BC的中点，点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为_答案解析如图，作出三棱锥ABCD的外接球，设球的半径为r，球心O到底面BCD的距离为d，DE的中点为F，连接AF，过球心O作AF的垂线OH，垂足为H，连接OA，OD，OE，AE.因为BD，CD，BC2，所以BDCD，则OE平面BCD，OEAF，所以HFOEd.所以在RtBCD

23、中，DE1，EF.又ABACBC2，所以AE，所以在RtAFE中，AF，所以r2d212，解得r2，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积S4r2.三、解答题15(2017梅州一模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60.(1)求此多面体的全面积；(2)求此多面体的体积解(1)在BAD中，AB2AD2，BAD60，由余弦定理可得BD，则AB2AD2BD2，ADBD.由已知可得，AGEF，AEGF，四边形AEFG为平行四边形，GDAD1，EFAG.EBAB2，GFAE2.过G作GHDC交CF于H，得FH2，FC3.过G作GMDB

24、交BE于M，得GMDB，ME1，GE2.cosGAE，sinGAE.SAEFG22.该几何体的全面积S211122(13)2(23)19.(2)V多面体的体积VABEGDVGBCDVGBCFESBEGDADSBCDDGS四边形BCFEBD(DGBE)BDADBCCDsin60DG(BECF)BCBD.16一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解(1)直观图如图所示：(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的， 在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则四边形AA1EB是正方形，AA1BE1，在RtBEB1中，BE1，EB11，BB1，几何体的表面积1212(12)1117(m2)几何体的体积V121(m3)，该几何体的表面积为(7) m2，体积为 m3.