2019版高考数学（理）一轮总复习作业：56空间向量的应用（二） 空间的角与距离2 .doc

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1、题组层级快练(五十六)1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A.B.C. D.答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD1，(1，1，1)，(1，0)cos，.sin，.2已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)(0，1，1)，(0，1，2)cos，.3若直线l的方向向量与平面的

2、法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D150答案C解析设直线l与平面所成的角为，则sin|cos120|，又090.30.4(2018天津模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，C1OB1D1.易得C1O平面DBB1D1，C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角在RtOBC1中，OC12，BC12，直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为，

3、故选C.5.(2018辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案A解析如图所示，建立空间直角坐标系则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，(2，2，0)，(2，0，4)，(0，0，4)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则即取x2，则y2，z1，故n(2，2，1)是平面ACD1的一个法向量设直线BB1与平面ACD1所成的角是，则sin|cosn，|.故选A.6若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，

4、则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC，故B1DC为直角三角形设棱长为1，则有AD，B1D，DC，SB1DC.设A到平面B1DC的距离为h，则有VAB1DCVB1ADC，hSB1DCB1DSADC.h，h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0，2，1)sin，n.7(2018

5、山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，ADCD，AB，PA，DAAB，点Q在PB上，且满足PQQB13，则直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为_答案解析方法一：如图，过点Q作QHCB交PC于点H.DAAB，DCAB，在RtADC中，AC.PA平面ABCD，在RtPAC中，PC.取AB的中点M，连接CM，DCAB，CMAD，在RtCMB中，CB，又PB2PA2AB216，PC2CB2PB2，CBPC.QHBC，QHPC.PACB，PAQH.由可得，QH平面PAC，QCH是直线CQ与平面PAC所成的角QHBC，HCPC，CQ，sinQCH.方法二：以A为坐标

6、原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，)，C(，0)，B(0，0)，PQPB，Q(0，)，可知平面PAC的一个法向量为m(1，1，0)，又(，)，|cosm，|，故直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为.8(2018上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE底面BCFE，DFAE，DFAE1，CE，四边形ABCD是正方形(1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由(2)记AB与平面AEC所成的角为，求cos2的值答

7、案(1)略(2)解析(1)AE底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，AEEC，AEEB，AEBC.四边形ABCD是正方形，BCAB，BC平面ABE.又BE平面ABE，BCBE，四面体EABC是鳖臑，AEB，AEC，CBE，ABC为直角(2)AE1，CE，AEEC，AC2，又ABCD为正方形BC2，BE.作BOEC于O，则BO平面AEC，连接OA，则OA为AB在面AEC上的射影BAO，由等面积法得BEBCECOB.OB，sin，cos212sin2.提示本题也可用向量法求解9.(2016课标全国，理)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M

8、为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，(0，2，

9、4)，(，1，2)，(，1，2)设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.10如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M为CD中点，求证：AM平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)四边形ABCD为菱形，BAD120，连接AC，如图，则ACD为等边三角形，又M为CD中点，AMCD，由CDAB，得AMAB，AA1底面ABCD，AM平面ABCD，AMAA1，又ABAA1A

10、，AM平面AA1B1B.(2)四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12，DM1，AM，AMDBAM90，又AA1底面ABCD，以AB，AM，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1，0)，D1(，2)，(，2)，(3，0)，(2，0，2)，设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则yxz，令x1，则n(1，1)，直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为sin|cosn，|.11.(2018山西太原一模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE

11、2，EF3.(1)证明：平面ACF平面BEFD；(2)若二面角AEFC是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值答案(1)略(2)解析(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.BE平面ABCD，BEAC，BDBEB，AC平面BEFD，平面ACF平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，由(1)得ACBD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)28，BD2.设OAa(a0)，则A(a，0，0)，C(a，0，0)，E(0，1)，F(0，2)，(0，2，1

12、)，(a，1)，(a，1)设m(x1，y1，z1)是平面AEF的法向量，则即令z12，m(，1，2)是平面AEF的一个法向量，设n(x2，y2，z2)是平面CEF的法向量，则即令z22，n(，1，2)是平面CEF的一个法向量，二面角AEFC是直二面角，mn90，a.BE平面ABCD，BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，AB2，tanBAE.故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为.1.(2017山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 60C45 30答案B解析将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC，ACS

13、为正三角形，ACS60.2.(2018成都一诊)如图，正四棱锥PABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A60 B30C45 D90答案A解析如图，正四棱锥PABCD中，根据底面积为6可得，BC.连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥PABCD的高，根据体积公式可得，PO1.因为PO底面ABCD，所以POBD，又BDAC，POACO，所以BD平面PAC，连接EO，则BEO为直线BE与平面PAC所成的角在RtPOA中，因为PO1，OA，所以PA2，OEPA1，在RtBOE中，因为BO，所以tanBEO，即BEO60.3.如图，平面ABC

14、D平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析设GB与平面AGC所成的角为.如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，(a，a，0)，(0，2a，2a)，(a，a，0)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1，1)，由n1(1，1，1)sin.4已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案A解析如图，连接AC交B

15、D于点O，连接C1O，过C作CHC1O于点H.CH平面C1BD，HDC为CD与平面BDC1所成的角5(2018黑龙江大庆实验中学期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，点D在棱BB1上，若BD3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为()A. B.C. D.答案B解析取AC的中点E，连接BE，如图所示，可得()，即52cos42(为与的夹角)，cos，sin，tan，又BE平面AA1C1C，所求角的正切值为.6(2016北京东城质量调研)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重

16、心G.则A1B与平面ABD所成角的余弦值是()A. B.C. D.答案B解析以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设CACBa，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，E(，1)，G(，)，(，)，(0，a，1)，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2.(，)，(2，2，2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量cos，A1B与平面ABD所成的角的余弦值为.7(2018太原模拟)在三棱锥ABCD中，底面BCD为边长是2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心，若E

17、为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥ABCD外接球的表面积为()A3 B4C5 D6答案D解析顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心，而且BCD是正三角形，三棱锥ABCD是正三棱锥，ABACAD.令底面BCD的重心(即中心)为P，BCD是边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，DE，PE，DP.直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即tanAEP2，AP，AE2AP2EP2，AD2，于是ABACADBCCDDB2，三棱锥ABCD为正四面体构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，外接球的半径为，外接球的表面积为4()26.8

18、(2018江西临海上一中一模)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_答案解析取AB的中点为F，连接B1F，过点F作FGBD，垂足为G，连接B1G，由正方体性质知BB1FG，BDBB1B，BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，故FB1G为FB1与平面BDD1B1所成的角，所以FG，B1F，所以sinFB1G.又因为AEB1F，所以直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是.9(2014福建，理)在平面四边形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面A

19、BD平面BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，则(1，1，0)，(0，1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0

20、，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.10(2017浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解析(1)如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EFAD，又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.