2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.3　三角函数的图象与性质 .docx

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1、33三角函数的图象与性质 知识梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质诊断自测1概念思辨(1)ytanx在整个定义域上是增函数()(2)函数f(x)sin(2x)与f(x)sin2x的单调增区间都是(kZ)()(3)由sinsin知，是正弦函数ysinx(xR)的一个周期()(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期()答案(1)(2)(3)(4

2、) 2教材衍化(1)(必修A4P46T2)函数f(x)(1tanx)cosx的最小正周期、最大值为()A2，2 B.， C，2 D.，答案A解析f(x)(1tanx)cosxcosx2cos，则T2.最大值为2.故选A.(2)(必修A4P40T4)已知函数f(x)sin(xR)，下列结论错误的是()A函数f(x)是偶函数B函数f(x)的最小正周期为C函数f(x)在区间上是增函数D函数f(x)的图象关于直线x对称答案D解析f(x)sincos2x，此函数为最小正周期为的偶函数，所以A，B正确由函数ycosx的单调性知C正确函数图象的对称轴方程为x(kZ)，显然，无论k取任何整数，x，所以D错误故

3、选D.3小题热身(1)函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.故选B.(2)函数ytan的单调递增区间是_，最小正周期是_答案(kZ)2解析由kk，kZ，得2kx，由正弦曲线得2kx1，即a2，则当cosx1时，ymaxaa1a2(舍去)，若01，即0a2，则当cosx时，ymaxa1a或a40(舍去)若0，即a0(舍去)综合上述，存在a符合题设方法技巧1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解见典例1.2三角函数值域的不同求法

4、(1)形如yasinxbcosxk的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsinxk的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)见典例2.(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设tsinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)冲关针对训练1(2017郑州模拟)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_答案解析由x，知x.x时，f(x)的值域为，由函数的图象知a，所以a.2已知3sin22sin22sin，求ysin2sin2的取值范围解3sin22sin22sin

5、，sin2sin2sin，0sin21，解得0sin，ysin2sin2sin2sin(sin1)2，0sin，sin0时，ymin0；sin时，ymax，0sin2sin2.题型2三角函数的单调性 (2017长沙一模)函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A. B.C. D.和本题用子集法答案D解析依题意得ysin，当2kx2k(kZ)，即4kx4k(kZ)时，函数ysin是单调递增函数又x2，2，因此函数ysin，x2，2的单调递增区间是和.选D.已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则实数的取值范围是()A. B. C. D(0,2子集反推法答案A解析由x，得x.又ysin在上递减

6、，所以解得.故选A.方法技巧1求三角函数单调区间的方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间(3)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解见典例1.2已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的方法(1)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解见典例2.(2)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解提醒：要注意求函数y

7、Asin(x)的单调区间时的符号，若0，0,0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A B C. D数形结合思想答案D解析f(x)Acos(x)为奇函数，f(0)Acos00，f(x)AcosAsinx.EFG是边长为2的等边三角形，则yEA，又函数的周期T2FG4，根据周期公式可得，.f(x)Asinxsinx，则f(1).故选D.(2018江南十校联考)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且对xR，有f(x)f恒成立，则f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D.应用公式法答案A解析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，

8、得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图象的对称中心为(kZ)当k0时，f(x)图象的对称中心为.故选A.方法技巧1若f(x)Asin(x)为偶函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)0.见典例1.2解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中

9、心时，可通过检验f(x0)的值进行判断见典例2.冲关针对训练1(2017揭阳模拟)当x时，函数f(x)sin(x)取得最小值，则函数yf()A是奇函数且图象关于点对称B是偶函数且图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线x对称D是偶函数且图象关于直线x对称答案C解析当x时，函数f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)，f(x)sinsin，yfsin(x)sinx，yf是奇函数，且图象关于直线x对称故选C.2(2018南阳期末)已知函数f(x)，试讨论该函数的奇偶性、周期性以及在区间0，上的单调性解因为y|sinx|所以作函数的图象如下：所以，该函数是偶函数，周期为.在区间上是增函数，在

10、区间上是减函数，在区间0，上不是单调函数1(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减答案D解析因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D.2(2018舟山模拟)若函

11、数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则f(x)在0，上的递增区间是()A. B. C. D.答案B解析函数f(x)3sin(2x)(00，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且.可作出示意图如图所示，x1，x2，x2x1，T.4(2017赣榆区期中)已知函数f(x)Asin(x)的图象在y轴上的截距为1，在相邻两个最值点和(x0，2)上(x00)，函数f(x)分别取最大值和最小值(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间内有两个不同的零点，求k的取值范围；(3)求函数f(x)在区间上的对称

12、轴方程解(1)A2，x0T3，f(x)2sin，代入(0,1)点，2sin1，f(x)2sin.(2)xx121k0，且，则0.故选C.3(2017成都调研)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1答案A解析因为0x9，所以x，所以sin.所以y，2，所以ymaxymin2.选A.4设函数f(x)sin的最小正周期为，且是偶函数，则()Af(x)在内单调递减Bf(x)在内单调递减Cf(x)在内单调递增Df(x)在内单调递增答案A解析由条件，知2.因为f(x)是偶函数，且|，所以，这时f(x)sincos2x.因为当x时，2x(0，)，所以f(x)在内单调递减故选

13、A.5将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Ayf(x)是奇函数Byf(x)的周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点对称答案D解析由题意知，f(x)cosx，所以它是偶函数，A错误；它的周期为2，B错误；它的对称轴是直线xk，kZ，C错误；它的对称中心是点，kZ，D正确故选D.6(2017广州综合测试)已知函数f(x)sin(2x)的图象的一个对称中心为，则函数f(x)的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案D解析由题意得fsin0，则2k，kZ，解得k，kZ，又因为0，所以，则f(x)si

14、n，则由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)sin的单调递减区间为，kZ.故选D.7已知函数ysin在区间0，t上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是()A6 B7 C8 D9答案C解析由ysin可得T6，则由图象可知t，即t，tmin8.故选C.8将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为()A B C. D.答案A解析将f(x)sin(2x)的图象左移个单位长度得ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则k(kZ)，且|0)在区间a，b上是增函数，且f(a)M，f(b)M，则函数g(x)Mcos(x)在

15、a，b上()A是增函数 B是减函数C可以取得最大值M D可以取得最小值M答案C解析T，g(x)Mcos(x)MsinMsin，g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移得到的由ba，可知，g(x)的图象由f(x)的图象向左平移得到的得到g(x)图象如图所示选C.10(2018新疆质检)已知函数f(x)|sinx|cosx，给出下列五个结论：f；若|f(x1)|f(x2)|，则x1x2k(kZ)；f(x)在区间上单调递增；函数f(x)的周期为；f(x)的图象关于点成中心对称其中正确的结论是()A B C D答案A解析fcos，正确；若|f(x1)|f(x2)|，则，当x10，x2时也成立，不正确；

16、当x时，f(x)|sinx|cosxf(x)在上不是单调函数，不正确；f(x)f(x)，函数f(x)的周期不是，不正确；f(x)|sinx|cosxkZ，结合图象可知f(x)的图象关于点成中心对称，正确故选A.二、填空题11设函数f(x)sin(x)(0)，若函数f(x)f(x)是奇函数，则_.答案解析由题意得f(x)sin(x)sinxcoscosxsin，f(x)cos(x)，f(x)f(x)sin是奇函数，因此k(其中kZ)，k.又00,00,0)为奇函数，f(x)4sinx.A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|ab|的最小值是1，则1，f(x)4sinx，则f4sin2.14

17、设函数ysin(x)的最小正周期为，且其图象关于直线x对称，则在下面四个结论中：图象关于点对称；图象关于点对称；在上是增函数；在上是增函数所有正确结论的编号为_答案解析ysin(x)的最小正周期为，2.又其图象关于直线x对称，得k(kZ)令k0，得.ysin.当x时，f0，函数图象关于点对称所以正确解不等式2k2x2k，得kxk(kZ)，所以正确三、解答题15已知函数f(x)2sinx1.(1)设为大于0的常数，若f(x)在区间上单调递增，求实数的取值范围；解16(2017洛阳校级月考)已知函数f (x)sin2xacosxa，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的最大值；(2)如果对于区间上的任意一个x，都有f(x)1成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)cos2xcosx22，cosx1,1，当cosx，即x2k(kZ)时，f(x)max.(2)依题意sin2xacosxa1，即sin2xa(cosx1)1对任意x恒成立当x时，0cosx1，则1cosx12，a 对任意x恒成立令tcosx1，则1t2，at2对任意1t2恒成立，于是amin.又t20，当且仅当t1，即x时取等号，a0.