2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第2讲 双曲线（考题帮.数学理） .docx

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1、第二讲双曲线题组1求双曲线的标准方程1.2016天津,6,5分理已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1 C.x24-y24=1D.x24-y212=12.2014天津,5,5分理已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1 B.x220-y25=1 C.3x225-3y2100=1D.3x2100

2、-3y225=1题组2双曲线的几何性质问题3.2016全国卷,5,5分理已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)4.2016全国卷,11,5分理已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=13,则E的离心率为()A.2B.32 C.3 D.25.2015新课标全国,11,5分理已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.5B.2 C.3 D.2

3、6.2015四川,5,5分理过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.437.2014新课标全国,4,5分理已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3m C.3 D.3m8.2014广东,4,5分理若实数k满足0k0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()A.y=14x B.y=13x C.y=12x D.y=x10.2017北京,9,5分理若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.11.2017山东,14,5分理在平面直角坐标系x

4、Oy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.12.2016北京,13,5分理双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则 a=.13.2014福建,19,13分理已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.()求双曲线E的离心率;()如图10-2-1,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分

5、别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.图10-2-1A组基础题1.2018辽宁省五校联考,4在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=12.2018合肥市高三调研,4 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为()

6、A.52 B.5C.3+12D.3+13.2017长春市高三第四次质量监测,11已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2最小内角为30,则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy=0B.x2y=0C.2xy=0D.x2y=04.2017成都市三诊,5已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),直线l:y=2x-2.若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点,则双曲线C的焦点到渐近线的距离为()A.1 B.2 C.5 D.45.2017沈阳市三模,6已知F1,F2是双曲线C:x2a2-

7、y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,若在双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|F1F2|,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2 B.(1,2C.2,+)D.2,+)6.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,11设P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m,n,则|m-n|=()A.4 B.5 C.6D.7B组提升题7.2018广东第一次七校联考,11已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为

8、M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52 B.5C.2D.28.2018南昌市调研,12已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=bax恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.69.2018洛阳市尖子生第一次联考,9设双曲线C:x216-y29=1的右焦点为F,过F作双曲线C的渐近线的垂线,垂足分别为M,N,若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离,则d|PF|的值为()A.34 B.45 C.54D.无法确定10.2018益阳市、湘潭市高三调考,15已知F为双

9、曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若AB=3FA,则此双曲线的离心率为.答案1.D根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=b2x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=b2x,x2+y2=4,得xA=44+b2,yA=2b4+b2,故四边形ABCD的面积为4xAyA=32b4+b2=2b,解得b2=12,故所求的双曲线的方程为x24-y212=1,选D.2.A由题意可知,双曲线的一条渐近线y=bax与直线y=2x+10平行,所以ba=2,

10、且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,由,解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为x25-y220=1.选A.3.A由题意得(m2+n)(3m2-n)0,解得-m2n3m2.由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2+n+3m2-n=4,即m2=1,所以-1n0,b0),不妨设点M在第一象限,则AB=BM=2a,MBA=120,作MHx轴于点H,则MBH=60,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线的方程x2a2-y2b2=1,得a=b,所以e=2.故选D.6.D由双曲线的标准方程x2-y23=1,得右焦点F(2,0),两条渐近线方程为y=3x,直线AB:

11、x=2,所以不妨取A(2,23),B(2,-23),则|AB|=43,故选D.7.A由题意知,双曲线的方程可化为x23m-y23=1,不妨设F(3m+3,0),渐近线方程为3x-3m+3y=0,则焦点F到一条渐近线的距离为33m+33m+3=3.故选A.8.D由0k2或k-2,则C(-mk,0).记A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,y=2x,消去x,得y1=2m2-k.同理得y2=2m2+k.由SOAB=12|OC|y1-y2|,得12|-mk|2m2-k-2m2+k|=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由y=kx+m,x24-y216=1,消去y,得(4-k2)x

12、2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).又m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法二()同解法一.()由()知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-12m12.由x=my+t,y=2x,消去x,得y1=2t1-2m.同理得y2=-2t1+2m.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由SOAB=12|OC|y1-y2|=

13、8,得12|t|2t1-2m+2t1+2m|=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由x=my+t,x2a2-y24a2=1,消去x,得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,即|PF2|为最小边,即PF1F2=30,则PF1F2为直角三角形,所以2c=23a,所以b=2a,即渐近线方程为y=2x,故选A.4.B根据题意知,双曲线的焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax.因为直线l平行于双曲线C的一条渐近线,所以ba=2.直

14、线l:y=2x-2与x轴的交点坐标为(1,0),即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0),所以a=1,则b=2a=2,故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2,故选B.5.D2|PF1+PF2|F1F2|,4|OP|2c,即|OP|c2.又|OP|a,ac2,即c2a,e=ca2.故选D.6.C易知双曲线的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),恰为两个圆的圆心,两个圆的半径分别为2,1,所以|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=5.同理|PM|-|PN|的最小值为(|

15、PF1|-2)-(|PF2|+1)=(|PF1|-|PF2|)-3=-1,所以|m-n|=6,故选C.组提升题7.C易知双曲线的渐近线方程为y=bax,则点F(c,0)到渐近线的距离为|bc|a2+b2=bcc=b,即圆F的半径为b.令x=c,则y=bc2a2-1=b2a,由题意,得b=b2a,即a=b,所以双曲线的离心率e=1+b2a2=2,故选C.8.C如图D 10-2-3,直线PF2的方程为y=-ab(x-c),设直线PF2与直线y=bax的交点为N,易知N(a2c,abc).又线段PF2的中点为N,所以P(2a2-c2c,2abc).因为点P在双曲线C上,所以(2a2-c2)2a2c2

16、-4a2b2c2b2=1,即5a2=c2,所以e=ca=5.故选C.图D 10-2-39.B双曲线C:x216-y29=1中,a=4,b=3,c=5,右焦点F(5,0),渐近线方程为y=34x.不妨设M在直线y=34x上,N在直线y=-34x上,则直线MF的斜率为-43,其方程为y=-43(x-5),设M(t,34t),代入直线MF的方程,得34t=-43(t-5),解得t=165,即M(165,125).由对称性可得N(165,-125),所以直线MN的方程为x=165.设P(m,n),则d=|m-165|,m216-n29=1,即n2=916(m2-16),则|PF|=(m-5)2+n2=14|5m-16|.故d|PF|=|m-165|14|5m-16|=45,故选B.10.43由题意知,F(-c,0).不妨令A(0,b),则直线AF:y=bcx+b.因为直线AF与渐近线y=bax相交,联立得y=bcx+b,y=bax,消去x,得yB=bcc-a.由AB=3FA,得yB=4b,所以bcc-a=4b,化简得3c=4a,所以离心率e=43.