根据递推公式,求数列通项公式的常用方法总结归纳2.docx

《根据递推公式,求数列通项公式的常用方法总结归纳2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《根据递推公式,求数列通项公式的常用方法总结归纳2.docx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本求递推数列通项公式的常用方法归纳目录一、概述 二、等差数列通项公式和前n 项和公式 1、等差数列通项公式的推导过程 2、等差数列前n 项和公式的推导过程 三、一般的递推数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、归纳猜想法 3、累加法 4、累乘法 5、构造新函数法 待定系数法） 6、倒数变换法 7、特点根法 8、不动点法 9、换元法 10、取对数法 11、周期法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，

2、共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本一、概述在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着特别广泛的作用，同时，数列的教学也是培育观看、分析、归纳、 猜想、 规律推理以及运用数学学问提出问题、分析问题和解决问题的必不行少的重要途径。数列这一章包蕴着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，把握这些思想方法不仅可以增进

3、对数列概念、公式的懂得， 而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发学问的迁移，使同学产生举一反三、融会贯穿的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法：1、不完全归纳法不完全归纳法不但可以培育同学的数学直观，而且可以帮忙同学有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。2、倒叙相加法等差数列前n 项和公式的推导过程中，就依据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且在这一章的许多问题都直接或间接的用到了这种方法。3、错位相减法错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前

4、n 项和公式的推导就用到了这种思想方法。4、函数的思想方法数列本身就是一个特别的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，特别在遇到等差数列与等比数列这两类特别的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。5、方程的思想方法数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n 项和前n 项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清楚、明白，而且简化明白题过程。二、等差数列通项公式和前n 项和公式第一节：等差数列前n 项和的推导过程1、等差数列通项公式：

5、1 可以从等差数列特点及定义来引入。定义： n2时，有 an an 1=d ，就： a2=a1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本a3=a2 d=a12d a4=a3 d=a1 3d a5=a4 d=a14d推测并写出an=？（2 ）实行累加a2 a1=d a3 a2=d a4 a3=dan an 1=d累加

6、后，有：an a1=n 1d ，即：an=a1 n 1d 。2、等差数列前n 项和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1 + 2 + 3 +50+51+98+99+100= ？1+100=101， 2+99=101，,50+51=101 ，所以原式 =50（ 1+101）=5050就利用高斯算法，简洁进行类比，过程如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1a 2a 3.a n2a n1a n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中a1a na 2a n1a 3a n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 mnpq ,就 a ma na pa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本这里用到了等差数列的性质：问题是一共有多少个a1an ，同学自然想到对n 取奇偶进行争论。（1）当 n 为偶数时：可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品名师归纳总结Sna1ananan122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn aan21n（2）当 n 为奇数时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1a n 112a n 12an 1an12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析到这里发觉a n 1 “落单”了，好像遇到了阻碍，此时勉励同学不能舍弃，在2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师的适当引导下，不难发觉，an 1 的角标与2 a1an 角标的关系可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品名师归纳总结1Snn1a 2an an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n1 a2an an 12an 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n aa 21nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而得到，无论n 取奇数仍是偶数，Sn a1 2an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结：（ 1）类比高斯算法将首尾分组进行“配对”，发觉需要对n 取奇偶进行争论，思路自然，简洁把握。（2）不少资料对n 取奇数时的处理方法是，当争论进行不下去时转向寻求其它解决方法，进而引

10、出倒序相加求和法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本方法二：对 n 的奇偶进行争论有点麻烦，能否回避对n 的争论了？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速运算堆放在木场的木头根数了？由此引入倒序相加求和法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1a2an 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精

11、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Snan两式相加得：an 12Snaa2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nSn aa n21n总结：（ 1）数学学习需要最优化的学习，因此引导同学去寻求更有效的解决方法，让同学在解决问题的同时也体会到同一个问题有不同的解决方法，而我们需要的是具备高效率的方法。（2）倒序相加求和法是重要的数学思想，方法比公式本身更为重要，为以后数列求和的学习做好了铺垫。（3）在过程中体会数学的对称美。三、一般的递推数列通项公式的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、公式法例 1、 已知无穷数列a n的前

12、 n 项和为Sn ，并且anSn1nN * ，求a n的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式？【解析】：S1a ，aSSaa，a1 a ，又 a1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 1nnn 1n 1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nna1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思：利用相关数列an与Sn的关系： a1S1 , anSnSn 1 n2 与提设条件，建可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立递推关系，是此题求解的关键.二、 归纳猜想法

13、：由数列前几项用不完全归纳推测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、 已知数列a n中，a11 ， an2an 11n2 ，求数列a n的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书

14、为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：a11 ， an2an 11n2 ，a22a113 ， a32a217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推测 an2 n1 n*N ，再用数学归纳法证明.（略）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思： 用归纳法求递推数列，第一要熟识一般数列的通项公式，再就是肯定要用数学归纳法证明其正确性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 、累加法 ：利用 ana1 a2a1anan 1 求通项公式的方法称为累加法。累加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

15、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法是求型如an 1anf n 的递推数列通项公式的基本方法（f n 可求前 n 项和） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3、 已 知 无 穷 数 列an的 的 通 项 公 式 是 ann1， 如 数 列bn2满 足 b11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nbb1n1) ，求数列b的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【

16、解析】： b11, bn 1bnn1 n1 ,2bnb1b2b1 bnbn 1 =1+1+.+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 11= 21.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 :用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1anf n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四 、累乘法 : 利用恒等式aa a2 a3ana0, n2) 求通项公式的方法称为累乘法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a1 a2nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

17、累乘法是求型如:an 1gna n 的递推数列通项公式的基本方法数列g n 可求前n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 已知 a1 , an aa nN * ,求数列a通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：an aa ,an 1n1,又有 aaa2 a3an a0, n2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nannn1a1 a2nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n1 12

18、n-1= n ,当 n1 时 a11 ，满意ann ，ann .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1g n a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、构造新数列 （待定系数法）: 将递推公式an+1qand （ q ,d 为常数， q0 ， d0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6

19、页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通过 an 1xq anx 与原递推公式恒等变成an 1dqad 的方法叫构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nq1q1造新数列，也即是待定系数法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、已知数列an中,a11 , an2an 11n2 ,求an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 :利用anx2an 1x ,求得 an12 an 11 ,an1是首项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a112 ,公比为 2 的等比数列 ,即 an12n ,a2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n反思：构造新数列的实质是通过an 1xq anx 来构造一个我们所熟知的等差或等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六 、倒数变换 ：将递推数列an

21、 1canc0, d0 ,取倒数变成1d11的形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结andan 1c anc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情形，此时将数列1看成一个新的数列，即an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再利用“构造新数列”的方法求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 6、 已知数列a nN * 中,a1 , anan12an,求数列1an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

22、名师归纳总结1【解析】 :将 an 1an取倒数得 :121,112 ,1是以11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 an1an 1anan 1anana1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1为首项 ,公差为 2 的等差数列 .an12n1 ,an1.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 :倒数变换有两个要点需要留意:一是取倒数 .二是肯定要留意新数列的首项,公差或公比变化了。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、 特点根法： 形如递推公式为an 2pa n 1qa n （其中 p

23、， q 均为常数） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对 于 由 递 推 公 式 an 2pan 1qan， 有 a1, a2给 出 的 数 列a n， 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2pxq0 ，叫做数列a n的特点方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x1 , x2 是特点方程的两个根，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - -

24、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -21立身以立学为先，立学以读书为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 x1x2 时，数列an的通项为 a nAx n 1Bx n，其中A ， B 由 a1, a2打算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（即把a1 , a2, x1 , x2 和 n1,2 ，代入 a nAx n 1Bxn1 ，得到关于A 、B 的方程组）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 x1x2 时，数列a n的通项为 anABnxn1 ，其中 A ，B 由 a, a2打算（即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 a1,a 2, x1, x2 和 n1,2 ，代入 an ABn x n1111，得到关于A 、B 的方程组）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7: 数列a n满意3a n 25a n 12 an0 n0, nN ，a1a, a2b ,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：由题可知数列的特点方程是：3 x 25x20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x11, x2,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1naAx n 1aABBx n 1A2A3b2 nB 32a。又由 a1a, a 2b ，于是2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bA2 B 3B3ab故 an3b2a3ab 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思：此题解题的关键是先求出特点方程的根。再由初始值确定出A,B的用已知量a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

27、结表示的值，从而可得数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结八、不动点法如 A,B0 且 AD-BC0 ，解 xAxDCxD,设,为其两根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I 、如，数列II 、如，数列 a na n1a n 是等比数列。 是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、已知数列式。 a n 满意 a n17 a n2 a n2， a132 ，求数列 a n 的通项公可编

28、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：令 x的不动点。7 x22x3， 得 2x 24x20 ，就 x=1 是函数f x 3x14x7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

29、精品名师归纳总结由于a n111所以7 a n2a n2a n215a n532a n3332a n252 1212 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n 1115a n515a n1511a n12a n15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1所以数列n是以a1121为首项，以为公差的等差数列，就5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11an1n125a，故n2n8。2n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思：此题解题的关键是先求出函数1f x 3x 4 x11的不动点，即方程72

30、x7x2 的2x31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根 x1，进而可推出a n 11a n15 ，从而可知数列a n1为等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列，再求出数列1a n1的通项公式，最终求出数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简洁，更易找到解决的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9、 已知数列 a n 满意 a n111164 a n124 a n， a 11 ，可编辑资料

31、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列 a n 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：令 b na11 b 224 a n1，就 a n1 b 21n24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故n124n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立身以立学为先，立学以读书为本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入 a n111164 a n124 a n 得可编