（江苏专版）2019版高考数学一轮复习讲义： 第二十章 计数原理 20.1 两个计数原理、排列与组合讲义.doc

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1、20.1两个计数原理、排列与组合考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合计数问题B23题10分2.二项式定理二项式定理展开式及其运用B分析解读江苏高考对两个计数原理、排列、组合、二项式定理的考查往往与集合,数列,概率进行综合,难度大,考查二项式定理的题目类型主要是证明某些整除问题或求余数;证明有关不等式,也可能与概率,数学归纳法综合在一起考查.命题探究答案:14解析:当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0

2、,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个.五年高考考点分类加法计数原理、分

3、步乘法计数原理、排列与组合1.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是.答案592.(2017课标全国理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有种.答案363.(2017浙江,16,5分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6604.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个

4、数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案1 0805.(2016课标全国理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.答案186.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为.答案727.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案1 5608.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其

5、中比40 000大的偶数共有个.答案1209.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有种.答案21610.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有对.答案4811.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是.答案12012.(2016江苏,23,10分)(1)求7C63-4C74的值;(2)设m,nN*,nm,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+nCn-

6、1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.解析(1)7C63-4C74=7654321-476544321=0.(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当nm时,(k+1)Ckm=(k+1)k!m!(k-m)!=(m+1)(k+1)!(m+1)!(k+1)-(m+1)!=(m+1)Ck+1m+1,k=m+1,m+2,n.又因为Ck+1m+1+Ck+1m+2=Ck+2m+2,所以(k+1)Ckm=(m+1)(Ck+2m+2-Ck+1m+2),k=m+1,m+2,n.因此,(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+(n+1)Cnm=(m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+

7、(m+3)Cm+2m+(n+1)Cnm=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)(Cm+3m+2-Cm+2m+2)+(Cm+4m+2-Cm+3m+2)+(Cn+2m+2-Cn+1m+2)=(m+1)Cn+2m+2.教师用书专用(1319)13.(2013福建理改编,5,5分)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为.答案1314.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案48015.(2014浙江,14,5分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5

8、张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案6016.(2014大纲全国改编,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有种.答案7517.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案3618.(2013重庆理,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案59019.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,

9、3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合1.(2018山东师大附中第三次模拟)将编号为1,2,3,4的球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放法有种.答案122.(苏教选23,一,3,5,变式)房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,则不同的开灯方法种数为.答案313.(2017江苏泰州期中)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形

10、式随机排列,设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数,则满足N1N2b),记An为满足a+b能被2整除的取法种数.(1)当n=6时,求An;(2)求An.解析(1)当n=6时,集合中偶数为2,4,6;奇数为1,3,5.要使a+b为偶数,则a,b同奇或同偶,共有C32+C32=6种取法,即A6=6.(2)当n=2k(k2,kN*)时,集合为1,2,3,2k.记A=1,3,5,2k-1,B=2,4,6,2k,因为a+b能被2整除,所以a,b应同是奇数或同是偶数,所以a,b应取自同一个集合A或B,故有Ck2+Ck2=k(k-1)2+k(k-1)2=k(k-1)种取法.即An=n2n2-1=n(n

11、-2)4.当n=2k+1(k2,kN*)时,集合为1,2,3,2k+1.将其分为两个集合:奇数集A=1,3,2k+1,偶数集B=2,4,2k.因为a+b能被2整除,所以a,b应同是奇数或同是偶数,所以a,b应该取自同一个集合A或B.故有Ck+12+Ck2=k(k+1)2+k(k-1)2=k2种取法,即An=n-122=(n-1)24.所以An=n(n-2)4,n是偶数,(n-1)24,n是奇数.8.(苏教选23,一,3,11,变式)某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2

12、)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?解析(1)首先从4名外科专家中抽调2名,有C42种抽调方法,再从6名非外科专家中抽调4名,有C64种抽调方法,所以共有C42C64=90种抽调方法.(2)解法一:(直接法)按抽调的外科专家的人数分类:抽调2名外科专家,共有C42C64种抽调方法;抽调3名外科专家,共有C43C63种抽调方法;抽调4名外科专家,共有C44C62种抽调方法,根据分类加法计数原理,共有C42C64+C43C63+C44C62=185种抽调方法.解法二:(间接法)不考虑是否有外科专家,共有C106种抽调方法,若抽调1名外科专家参加,则有

13、C41C65种抽调方法;若没有外科专家参加,则有C66种抽调方法,所以共有C106-C41C65-C66=185种抽调方法.(3)“至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,没有外科专家参加,有C66种抽调方法;有1名外科专家参加,有C41C65种抽调方法;有2名外科专家参加,有C42C64种抽调方法.所以共有C66+C41C65+C42C64=115种抽调方法.B组20162018年模拟提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏扬州期末)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段

14、的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有种.答案264二、解答题(共30分)2.(2017江苏扬州中学质检)在正整数列1,2,3,n中,任取k个元素位置保持不动,将其余(n-k)个元素变动位置,得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k).(1)求P3(1);(2)求k=04P4(k);(3)证明k=0nkPn(k)=nk=0n-1Pn-1(k),并求出k=0nkPn(k)的值.解析(1)当n=3时,数列为1,2,3,保持其中1个元素位置不动,将其余2个元素变动位置,可能得到的新数列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3,所以P3(1)=3.(2)k=04P4(k)=P4(0)

15、+P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=C40C31(1+2)+C41C21+C42+0+1=9+8+6+0+1=24.(3)在数列1,2,n中任取其中k个元素位置不动,有Cnk种取法;其余(n-k)个元素重新排列,并且使其余n-k个元素都要改变位置,则有Pn(k)=CnkPn-k(0),故k=0nkPn(k)=k=0nkCnkPn-k(0),又因为kCnk=nCn-1k-1(k1),所以k=0nkPn(k)=k=0nkCnkPn-k(0)=nk=0n-1Cn-1kPn-k-1(0)=nk=0n-1Pn-1(k).令an=k=0nkPn(k),则an=nan-1,n2,且a1=1.于

16、是a2a3a4an-1an=2a13a24a3nan-1,左右同除以a2a3a4an-1,得an=2a134n=n!,所以k=0nkPn(k)=n!.3.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+a4k(kN*),其中ai0,1(i=1,2,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,a4k的个数记为m(b).(1)当k=2时,求m(1)的值;(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.解析(1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=C81+C85=64.(2)依题意,m(3)表示数列a1,

17、a2,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,或(4k-1)个1,其余为0,所以m(3)=C4k3+C4k7+C4k11+C4k4k-1.同理,得m(1)=C4k1+C4k5+C4k9+C4k4k-3.因为C4ki=C4k4k-i(i=3,7,11,4k-1),所以m(1)=m(3).又m(1)+m(3)=C4k1+C4k3+C4k5+C4k4k-3+C4k4k-1=24k-1,所以m(3)=24k-2=42k-1.C组20162018年模拟方法题组方法1两个基本原理应用的解题策略1.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,15)甲与其四位朋友各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案数为.答案64方法2排列、组合及其应用的解题策略2.(2017江西新余第二次模拟,8)7人站成两排,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙3人加入队列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法有种.答案360