2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教A版必修4_.doc

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1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1ii，jj，ij分别是多少？答案ii11cos 01，jj11cos 01，ij0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1i

2、y1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.思考3若ab，则a，b坐标间有何关系？答案abab0x1x2y1y20.梳理设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案axiyj，x，yR，a2(xiyj)2(xi)22xy ij(yj)2x2i22xy ijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计

3、算向量的模？答案(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.梳理向量模长a(x，y)|a|以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|知识点三平面向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？答案cos .类型一平面向量数量积的坐标表示例1已知a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2，4).(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10).反思

4、与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2答案C解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，则(2ab)a(1，0)(1，1)1，故选C.类型二向量的模、夹角问题例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(5，15). (1)求|，|；(2)求OAB.解(1)由(16，12

5、)，(516，1512)(21，3)，得|20，|15.(2)cos OABcos，.其中(16，12)(21，3)16(21)123300.故cos OAB.OAB45.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值.跟踪训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.又a，b的夹角为钝角，即0)，则|2，1321322，2，(4，6)，(1，2)(4，6)(5，4).点B的坐标为(5，4)

6、.三、解答题11.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2).(1)若|c|2，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解(1)设c(x，y)，由ca及|c|2，可得所以或因为c与a方向相反，所以c(2，4).(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，所以2|a|23ab2|b|20，所以253ab20，所以ab.所以cos 1.又因为0，所以.12.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4).(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成

7、的锐角的余弦值.(1)证明A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，(1，1)，(3，3)，又1(3)130，即ABAD.(2)解，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1，1)，(x1，y4)，解得C点坐标为(0，5).由于(2，4)，(4，2)，所以88160，|2 ，|2 .设与的夹角为，则cos 0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.13.平面内有向量(1，7)，(5，1)，(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos AQB的值.解(1)设(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线.又(2，1)，x

8、2y0，x2y，(2y，y).又(12y，7y)，(52y，1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故当y2时，有最小值8，此时(4，2).(2)由(1)知：(3，5)，(1，1)，8，|，|，cos AQB.四、探究与拓展14.已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则向量b的坐标为_.答案(，)15.已知(4，0)，(2，2)，(1)(2).(1)求及在上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当时，求的值；(3)求|的最小值.解(1)8，设与的夹角为，则cos ，在上的投影为|cos 42.(2)(2，2)，(1)(1)(1)，所以A，B，C三点共线.当时，11，所以2.(3)|2(1)222(1)22162161616()212，当时，|取到最小值，为2.