（江苏专版）2019版高考数学一轮复习讲义： 第十四章 平面解析几何初步 14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义.doc

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1、14.3直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断与运用B9题5分10题5分填空题解答题2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判断与运用B17题14分填空题解答题分析解读直线与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容,无论是填空题还是解答题都是中等难度,着重考查直线与圆相切或相交的情况.五年高考考点一直线与圆的位置关系1.(2016课标全国改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=.答案-432.(2016课标全国,15,5

2、分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.答案43.(2016课标全国理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.答案44.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=25.(2015四川改编,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r

3、0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是.答案(2,4)6.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:|NA|NB|=|MA|MB|;|NB|NA|-|MA|MB|=2;|NB|NA|+|MA|MB|=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)7.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=

4、0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.答案25558.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.答案29.(2014江西改编,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为.答案4510.(2014课标,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是.答案-1,111.(2017课标全国文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交

5、于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1-1x2=-12,所以不能出现ACBC的情况.(2)BC的中点坐标为x22,12,可得BC的中垂线方程为y-12=x2x-x22.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2.联立x=-m2,y-12=x2x-x22,又x22

6、+mx2-2=0,可得x=-m2,y=-12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m2,-12,半径r=m2+92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2-m22=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.12.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(

7、3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2=61+t2,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.由(*)解得t245,又t20,所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的

8、方程为x-322+y2=94530)及圆上的点A(0,-r),过点A的直线l交圆于另一点B,交x轴于点C,若OC=BC,则直线的斜率为.答案33.(2017江苏南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+y2=2上一动点,则|PB|PA|的最大值是.答案2二、解答题(共30分)4.(2018江苏海安高级中学阶段测试)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:3x+y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.(1)若a=8,切点T(3,-1),求直线AP的方程;(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.解析(1)易

9、知A(-2,0).由题意,得直线PT切圆O于点T,则OTPT,又切点T的坐标为(3,-1),所以kOT=-33,kPT=-1kOT=3,故直线PT的方程为y+1=3(x-3),即3x-y-4=0.由3x-y-4=0,3x+y-8=0,解得x=23,y=2,即P(23,2),易知A(-2,0),所以直线AP的斜率k=2-023+2=13+1,故直线AP的方程为y=13+1(x+2),即x-(3+1)y+2=0.(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),即3x2+3y2-4x-20=0,满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆,且方程为x-232+y2=649

10、,因为点P在直线l:3x+y-a=0上,所以圆心23,0到直线l的距离d=323-a(3)2+1283,即233-a163,解得-16+233a16+233.5.(2017江苏扬州期中,17)已知圆M:x2+y2-2x+a=0.(1)若a=-8,过点P(4,5)作圆M的切线,求该切线方程; (2)若AB为圆M的任意一条直径,且OAOB=-6(其中O为坐标原点),求圆M的半径.解析(1)若a=-8,则圆M:(x-1)2+y2=9,圆心M(1,0),半径为3.若切线斜率不存在,圆心M到直线x=4的距离为3,所以直线x=4为圆M的一条切线;若切线斜率存在,设切线方程为y-5=k(x-4),化简为kx

11、-y-4k+5=0,则圆心到直线的距离d=|k-4k+5|k2+1=3,解得:k=815.所以切线方程为x=4或8x-15y+43=0.(2)圆M的方程可化为(x-1)2+y2=1-a,圆心M(1,0),圆的半径r=1-a(a0,所以无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)设直线与圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则直线l被圆C截得的弦长AB=1+k2|x1-x2|=28-4k+11k21+k2=211-4k+31+k2,令t=4k+31+k2,则tk2-4k+(t-3)=0,当t=0时,k=-34,当t0时,因为kR,所以=16-4t(t-3)0,解得-1t4,且t0,故

12、t=4k+31+k2的最大值为4,此时AB最小,最小值为27.即直线l被圆C截得的最短弦长为27.4.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.解析(1)由题知圆心为(1,2),半径r=2,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,直线x=3与圆相切.当过点M的直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知|k-

13、2+1-3k|k2+1=2,解得k=34.方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意有|a-2+4|a2+1=2,解得a=0或a=43.(3)圆心到直线ax-y+4=0的距离为|a+2|a2+1,|a+2|a2+12+2322=4,解得a=-34.D组20162018年模拟突破题组1.(2017南通第三次调研考试)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在一点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,ABP的面积为1,则正数m的取

14、值范围是.答案1,3+232.(2018江苏如东高级中学检测)已知圆O:x2+y2=4.(1)直线l1:3x+y-23=0与圆O相交于A,B两点,求弦AB的长度;(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问mn是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解析(1)由于圆心(0,0)到直线l1:3x+y-23=0的距离d=|-23|2=3,圆的半径r=2,所以|AB|=2r2-d2=2.(2)由于M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,

15、M,M1关于原点对称,M,M2关于x轴对称,则M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1),且x12+y12=4,x22+y22=4.直线PM1的方程为y+y1y2+y1=x+x1x2+x1,令x=0,得y=m=x1y2-x2y1x2+x1.直线PM2的方程为y+y1y2+y1=x-x1x2-x1,令x=0,得y=n=-x1y2-x2y1x2-x1.mn=x22y12-x12y22x22-x12=x22(4-x12)-x12(4-x22)x22-x12=4.显然mn为定值,且定值为4.3.(2017江苏丹阳高级中学创新班练习)定义直线关于圆的圆心距单位:圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有:

16、当直线与圆相交时,圆心距单位小于1;当直线与圆相切时,圆心距单位等于1;当直线与圆相离时,圆心距单位大于1.(1)设圆C0:x2+y2=1,求过点P(2,0),且关于圆C0的圆心距单位=3的直线方程;(2)若圆C与x轴相切于点A(3,0),且直线y=x关于圆C的圆心距单位=2,求圆C的方程.解析(1)由题意可得出圆C0的圆心到过点P(2,0)的直线的距离为3,易得所求直线的方程为y=3(x-2).(2)由题意可设所求圆的方程为(x-3)2+(y-b)2=b2,因为直线y=x关于圆C的圆心距单位=2,所以圆心到直线的距离为2|b|,即2|b|=|3-b|2b=1或-3,所以所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y+3)2=9.