2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第一讲 坐标系二 第2课时 .docx

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1、1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点(a，)处且过极点的圆1.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0，如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是，则直线l的极坐标方程为或 (R).3.圆的极坐标方程圆心在点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2acos_()；圆心在点(a，)处且过极点O的圆的极坐标方程为2asin_(0).【思维导图】【知能要点】1.曲线的极坐标方程.2.圆的极坐标方程.3.直

2、线的极坐标方程.4.两种方程的互化.知识点1曲线的极坐标方程在给定的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至少有一种能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如，满足极坐标方程的点M可以表示为或等多种形式，其中只有的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程.求曲线的极坐标方程就是找出曲线上的动点P(，)的极径和极角的相互关系.【例1】 判断点是否在曲线cos 上？解

3、：点和点是同一点，cos cos ，点在曲线cos 上，即点在曲线cos 上.【反思感悟】 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不同的.尽管并不满足cos ，但该点依然在曲线上.1.已知A、B两点相距12，动点M满足|36，求点M的轨迹的极坐标方程.解： 以AB所在直线为极轴，AB中点为极点建立极坐标系(如图所示)，设M(，)，由|.|.由|36，得(236)21442cos2 362，即47221442cos2 0，即272(2cos2 1)72cos 2.知识点2直线和圆的极坐标方程求直线和圆的极坐标方程，可以结

4、合图形，找出直线和圆上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.【例2】 求过A平行于极轴的直线方程. 解：如图所示，在直线l上任意取点M(，).A，|MH|2sin ，在RtOMH中，|MH|OM|sin ，即sin ，所以，过A平行于极轴的直线方程为sin .【反思感悟】 (1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量、之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决.(2)在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.2.求从极点出发，倾斜角是的射线的极坐标方程.解：设M(，)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P

5、M|xOM.将已知条件用极坐标表示，得(0).这就是所求的射线的极坐标方程.【例3】 在极坐标系中，求圆心为A(8，)，半径为5的圆的方程.解：在圆上任取一点P(，)，那么在AOP中，|OA|8，|AP|5，AOP或，由余弦定理得cosAOP，即216 cos()390为所求圆的极坐标方程.【反思感悟】 求曲线的极坐标方程是找出曲线上的动点P(，)的极径和极角的相互关系，设法用和的方程表示这种关系.3.以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A.2 cos() B.2 sin()C.2 cos(1) D.2 sin(1)答案：C解析：设圆心为C(1，1)，P(，)为圆上的任意

6、一点.|CO|CP|，|OP|2|OD|，在RtCDO中，DOC1或1，|OD|cos(1)，|OP|2 cos(1)，即2 cos(1).知识点3直角坐标方程与极坐标方程的互化在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性.【例4】 将下列直角坐标方程与极坐标方程互化.(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos2 1；(5)2cos 24；(6).解：(1)将

7、xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化简得sin2 4cos .(2)将xcos ，y sin 代入y2x22x10，得(sin )2(cos )22cos 10，化简得22cos 10.(3)tan ，tan ，化简得yx (x0).(4)cos2 1，1，即cos 2，x2，整理有y244x.(5)2cos24，2(cos2 sin2 )4.化简得x2y24.(6)，12cos ，12x，整理得3x24y22x10.【反思感悟】 在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.4.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x2(y2)24

8、；(2)xy0；(3)9(sin cos )；(4)4；(5)2cos 3sin 5.解：(1)x2(y2)24，x2y24y，代入xcos ，ysin 得24sin 0，即4sin .(2)将xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0，(cos sin )0，tan 1.(0)和(0).综上所述，直线xy0的极坐标方程为(0)和(0)或(R)或(R).(3)9(sin cos )，29(sin cos ).x2y29x9y，即.(4)4，242，x2y216.(5)2cos 3sin 5，2x3y5.知识点4过极点的圆的极坐标方程圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标

9、方程为2a cos()，圆心在点(a，)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2a sin ，(0).【例5】 在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.解：设M(，)是轨迹上任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02. 由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆.【反思感悟】 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量，的关系.在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系.对于特殊的圆，可利用其特点直接写出其极

10、坐标方程.5.极坐标方程分别是cos 和sin 的两个圆的圆心距是()A.2 B. C.1 D.答案：D解析：cos 表示以为圆心，为半径的圆，sin 表示以为圆心，为半径的圆.如图，所求圆心距为 课堂小结1.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(，)，探求，的关系，经常利用三角形和正弦定理.2.曲线的极坐标方程和直角坐标方程进行转化时，直接利用互化公式即可.3.圆的极坐标方程比较简便，而直线的极坐标方程形式复杂.随堂演练1.在极坐标系中，曲线4sin关于_对称()A.直线 B.直线C.点 D.极点答案：B解析：化简4 sin，可得4 cos.由此可知曲线是以为圆心的圆.故圆关于对称.2

11、.求过点A，并且与极轴垂直的直线. 解：在直线l上任取一点M，如图：因为A，所以|OH|2cos .在RtOMH中，|OH|cos ，所以所求直线的方程为cos .3.已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极值为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.基础达标1.在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为()A.2cos B.2cos C.2sin D.2sin 答案：B解析：如图所

12、示，已知圆心为P(，)，在圆上任找一点M(，)，延长OP与圆交于点Q，则OMQ90，在RtOMQ中，OMOQcosQOM2cos()，即2cos .2.极坐标方程2sin的图形是()答案：C解析：2sin2sin cos 2cos sin (sin cos )，2sin cos ，x2y2xy，1，圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.3.将曲线的极坐标方程4sin 化成直角坐标方程为()A.x2(y2)24 B.x2(y2)24C.(x2)2y24 D.(x2)2y24答案：B解析：由已知得24sin ，x2y24y，x2(y2)24.4.极坐标方程cos sin 2所表示曲线是_.答案：一

13、个直线和一个圆解析：cos sin 22sin cos ，cos 0或2sin .cos 0表示一条直线(垂直于极轴)；2sin 2cos表示圆心为，半径为1的圆.5.在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_.答案：解：2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，由解得即两曲线的交点为(1，1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为.6.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P

14、，求直线OP的极坐标方程.解：(1)由cos1得1，从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.0时，2，所以M(2，0)；时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，R.综合提高7.已知点P的极坐标为(1，)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()A.1 B.cos C. D.答案：C解析：如图所示，设M为直线上任一点，设M(，).在OPM中，OPOMcosPOM，1cos()，即.8.直线和直线sin()1的位置关系是()A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.重合答案：B解析：两直线斜率相同.9.

15、在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.若AOB是等边三角形，则a的值为_.答案：3解析：将极坐标方程化为普通方程，根据图形的对称性求出交点坐标，代入圆方程求解即可.由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.10.在极坐标系中，定点A，点B在直线l：cos sin 0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_

16、.答案：解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点A化为直角坐标得A(0，1)，如图，过A作AB直线l于B，因为AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|1，则|OB|，BOx，故B点的极坐标是B.11.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1，0).因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .12.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r1，Q点在圆C上运动.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上，且，求动点P的轨迹方程.解：(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标为，所以圆C的平面直角坐标方程为1，化为极坐标方程为26cos80.(2)设P点坐标为(，)，Q点坐标为(0，0)，则由题意可知因为点Q在圆C上，所以点Q的坐标适合圆C的方程，代入得6cos80，整理即得动点P的轨迹方程为215cos500.