概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)
浙大第四版（高等教育出版社）
第一章 概率论的基本概念
1.[一] 写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）
，n表小班人数
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）
S={10，11，12，………，n，………}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}
2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)
（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为： 或AB－ABC或AB－C
（3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：A+B+C
（4）A，B，C都发生， 表示为：ABC
（5）A，B，C都不发生， 表示为：或S－ (A+B+C)或
（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生
相当于中至少有一个发生。故 表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：中至少有一个发生。故 表示为：
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC
6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？
解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)
（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为
P(AB)=P(A)=0.6，
（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为
P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。
7.[四] 设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。
解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=
8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记A表“能排成上述单词”
∵ 从26个任选两个来排列，排法有种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：55个
∴
9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
记A表“后四个数全不同”
∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有
∴
10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵ 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。
又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有
∴
（2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种
11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有
故
12.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
∵ 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有种
∴
（2）至少有2个次品的概率。
记：A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种
∵ 且B0，B1互不相容。
∴
13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵ 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有
15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,
三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种。
(选排列：好比3个球在4个位置做排列)
对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。
(从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)
16.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一：用古典概率作：
把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
对E：铆法有种，每种装法等可能
对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔〕10种
法二：用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）
对E：铆法有种，每种铆法等可能
对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。这种铆法有种
17.[十三] 已知。
解一：
注意. 故有
P (AB)=P (A)－P (A)=0.7－0.5=0.2。
再由加法定理，
P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=0.7+0.6－0.5=0.8
于是
18.[十四] 。
解：由
由乘法公式，得
由加法公式，得
19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。
解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为
S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
每种结果（x, y）等可能。
A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故}
方法二：（用公式
S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则，
故
20.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：所求概率为P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (|AB)
P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6.
从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.
21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A）
法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
法三：用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1，A2分别表第一、二次取得正品。
（2）二只都是次品（记为事件B）
法一：
法二：
法三：
（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一：
法二：
法三：
（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
法二：
法三：
22.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
24.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥
∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)
=
[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有
P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)
26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ
由已知条件知
由贝叶斯公式，有
[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P (A1)=P (A2|A1)=P，
（1）B={至少有一次及格}
所以
∴
（2） （*）
由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2
由全概率公式，有
将以上两个结果代入（*）得
28.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
到家时间
5:35~5:39
5:40~5:44
5:45~5:49
5:50~5:54
迟于5:54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S
已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5
由贝叶斯公式有
29.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2
Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S A1A2=φ
（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。
（2）
（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解）
3
1
2
L
R
32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
5
4
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)
+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)
+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)
+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)
又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。
故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]
+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5
[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2
4
1
3
A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)
= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立)
34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？
解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A
由全概率公式，有
（条件概率定义与乘法公式）
35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。
解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机
∵ ，三种情况互斥。
三种情况互斥
又 B1，B2，B2独立。
∴
+ 0.40.50.7+0.60.50.7=0.41
P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14
又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥
故由全概率公式，有
P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)
=0.360.2+0.410.6+0.141=0.458
36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵ B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥
由全概率公式，有
∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)
=0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624
37.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）
解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有
P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，
P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=
又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发)
=，
同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =
于是由全概率公式，得
由Bayes公式，得
P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =
=
[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（1）记C={至少有一只蓝球}
C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥
由概率有限可加性，得
（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥
（3）
[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别为，设三人的行动相互独立，求
（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。
解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话
D1、D2、D3分别表示A，B，C外出
注意到C1、C2、C3独立，且
（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)
=
（2）记G=“被呼叫人在办公室”，三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式
（3）H为“这3个电话打给同一个人”
（4）R为“这3个电话打给不同的人”
R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为
于是
（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为，且各次情况相互独立
于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=
第二章 随机变量及其分布
1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律为
也可列为下表
X： 3， 4，5
P：
3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P
x
1
2
O
再列为下表
X： 0， 1， 2
P：
4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0
Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+
P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+
P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=
9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）
解：（1）P (一次成功)=
（2）P (连续试验10次，成功3次)= 。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。
[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求
（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率
（2）需作第二次检验的概率
（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率
（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率
（5）这批产品被接受的概率
解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，
由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从）
（1）P {X=0}=0.910≈0.349
（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=
（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590
（4）P {010)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）
[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。
[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是
求下述概率：
（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}
解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =
（2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =
（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {32}，P (X>3)
∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )
=
=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)
=1－0.3085+0.0062=0.6977
P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5
（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)
∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)
得 P (X≤C )==0.5
又 P (X≤C )=φ ∴ C =3
26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求
（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.
解:
27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？
设螺栓长度为X
P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)
=1－P (10.05－0.12
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