湖南岳阳市2018年度中考数学试题(含解析).doc

. 2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3 分）2018 的倒数是（ ） A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018 2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ） A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2 3．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥0 4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5） 5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B ． C． D． 6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88， 96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92 7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ） A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540 D．圆内接四边形的对角相等 8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3， m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（ ） 第 1 页（共 22 页） A．1 B．m C．m2 D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．（4 分）因式分解：x2﹣4= ． 10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄” 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为 ． 11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 ． 12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 ． 13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 ． 14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60，∠2=40，则∠3= ． 15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是 步． 第 2 页（共 22 页） 16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ① = ； ②扇形 OBC 的面积为 π； ③△OCF∽△OEC； ④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或[来源:Zxxk.Com] 演算步骤） 17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45+（π﹣2018）0+|﹣ | 18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形． 19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式． 第 3 页（共 22 页） 20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数； （4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率． 21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护， 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60． （1）求点 M 到地面的距离； 第 4 页（共 22 页） （2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到 0.01 米） 23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB，BB，延长 CD 交 BB于点 E，设∠ABC=2α（0＜α＜45）． （1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE； （2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45），得到线段 FC， 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 （用含 α 的式子表示）． 24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣ ，0）． （1）求抛物线 F 的解析式； （2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点 第 5 页（共 22 页） B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）； （3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由； ②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 6 页（共 22 页） 2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3 分）2018 的倒数是（ ） A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018 【解答】解：2018 的倒数是 ， 故选：B． 2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ） A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2 【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意； B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意； C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； D、a﹣2= ，故本选项不符合题意， 故选：A． 3．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥0 【解答】解：函数 y= 中 x﹣3≥0， 所以 x≥3，[来源:Zxxk.Com] 故选：C． 4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5） 【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5）， 第 7 页（共 22 页） 故选：C． 5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B ． C． D． 【解答】解： ， 解①得：x＜2， 解②得：x≥﹣1， 故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， 故解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88， 96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92 【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数 为 92，众数为 96． 故选：B． 7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ） A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540 D．圆内接四边形的对角相等 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题； 三角形的重心是三条边的中线的交点，B 是假命题； 第 8 页（共 22 页） 五边形的内角和=（5﹣2）180=540，C 是真命题； 圆内接四边形的对角互补，D 是假命题； 故选：C． 8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3， m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（ ） A．1 B．m C．m2 D． 【解答】解：设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x＞0） 的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，因为 点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3= ∴ω=x1+x2+x3=x3= 故选：D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．（4 分）因式分解：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．[来源:学+ 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄” 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为 1.2108 ． 【解答】解：120000000=1.2108， 第 9 页（共 22 页） 故答案为：1.2108． 11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 k＜1 ． 【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＜1． 12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 5 ． 【解答】解：∵a2+2a=1， ∴3（a2+2a）+2=31+2=5， 故答案为 5． 13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 ． 【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P= ， 故答案为： ． 14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60，∠2=40，则∠3= 80 ． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠4=∠l=60， ∴∠3=180﹣∠4﹣∠2=80， 故答案为：80． 第 10 页（共 22 页） 15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是 步． 【解答】解：∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF， 设 ED=x，则 CD=x，AD=12﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ， ∴ ， x= ， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步）， 故答案为： ． 第 11 页（共 22 页） 16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号） ① = ； ②扇形 OBC 的面积为 π； ③△OCF∽△OEC； ④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25． 【解答】解：∵弦 CD⊥AB， ∴ = ，所以①正确； ∴∠BOC=2∠A=60， ∴扇形 OBC 的面积= = π，所以②错误； ∵⊙O 与 CE 相切于点 C， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90， ∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE， ∴△OCF∽△OEC；所以③正确； AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9， 当 OP=3 时，AP•OP 的最大值为 9，所以④错误． 第 12 页（共 22 页） 故答案为①③． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45+（π﹣2018）0+|﹣ | 【解答】解：原式=1﹣2 +1+ =1﹣ +1+ =2． 18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，且 AB=CD， 又∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴BE∥DF 且 BE=DF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形． 19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式． 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：（1）由题意得，k=xy=23=6 ∴反比例函数的解析式为 y= ． （2）设 B 点坐标为（a，b），如图 ， 作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b） ∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b） ∴b= ∴AD=3﹣ ． ∴S△ABC= BC•AD = a（3﹣ ）=6 解得 a=6 ∴b= =1 ∴B（6，1）． 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 将 A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 ， 第 14 页（共 22 页） 解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4． 20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 120 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数； （4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率． 【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：2420%=120（人）； 故答案为：120； （2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人）， 如图所示： 第 15 页（共 22 页） ； （3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为： 360=90； （4）如图所示： ， 一共有 12 种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有 2 种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为： ． 21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护， 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工 1.2x 平方 米， 根据题意得： ﹣ =11， 解得：x=500，[来源:Zxxk.Com] 经检验，x=500 是原方程的解， ∴1.2x=600． 第 16 页（共 22 页） 答：实际平均每天施工 600 平方米． 22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60． （1）求点 M 到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到 0.01 米） 【解答】解：（1）如图，过 M 作 MN⊥AB 于 N，交 BA 的延长线于 N， Rt△OMN 中，∠NOM=60，OM=1.2， ∴∠M=30， ∴ON= OM=0.6，[来源:Zxxk.Com] ∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9； 即点 M 到地面的距离是 3.9 米； （2）取 CE=0.65，EH=2.55， ∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7， 过 H 作 GH⊥BC，交 OM 于 G，过 O 作 OP⊥GH 于 P， ∵∠GOP=30， ∴tan30= = ， ∴GP= OP= ≈0.404， ∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5， 第 17 页（共 22 页） ∴货车能安全通过． 23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB，BB，延长 CD 交 BB于点 E，设∠ABC=2α（0＜α＜45）． （1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE； （2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）； （3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45），得到线段 FC， 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 （用含 α 的式子表示）． 【解答】解：（1）如图 1 中， 第 18 页（共 22 页） ∵B、B′关于 EC 对称， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD， ∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE． （2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α． 理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90， ∴△BAB′∽△CAD， ∴ = = ， ∴ = ， ∴CD=2•BE•tan2α． （3）如图 3 中， 第 19 页（共 22 页） 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90﹣2α， ∵EC 平分∠ACB， ∴∠ECB= （90﹣2α）=45﹣α， ∵∠BCF=45+α， ∴∠ECF=45﹣α+45+α=90， ∴∠BEC+∠ECF=180， ∴BB′∥CF， ∴ = = =sin（45﹣α）， ∵ = ， ∴ =sin（45﹣α）． 24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣ ，0）． （1）求抛物线 F 的解析式； （2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）； （3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由； ②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 20 页（共 22 页） 【解答】解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0）和（﹣ ，0）， ∴ ，解得： ， ∴抛物线 F 的解析式为 y=x2+ x． （2）将 y= x+m 代入 y=x2+ x，得：x2=m， 解得：x1=﹣ ，x2= ， ∴y1=﹣ +m，y2= +m， ∴y2﹣y1=（ +m）﹣（﹣ +m）= （m＞0）． （3）∵m= ， ∴点 A 的坐标为（﹣ ， ），点 B 的坐标为（ ，2）． ∵点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点， ∴点 A′的坐标为（ ，﹣）． ①△AA′B 为等边三角形，理由如下： ∵A（﹣ ，），B（ ，2），A′（ ，﹣）， ∴AA′= ，AB= ，A′B= ， ∴AA′=AB=A′B， ∴△AA′B 为等边三角形． ②∵△AA′B 为等边三角形， ∴存在符合题意得点 P，且以点 A、B、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P 的坐标为（x，y）． （i）当 A′B 为对角线时，有 ， 解得： ， ∴点 P 的坐标为（2 ，）； 第 21 页（共 22 页） （ii）当 AB 为对角线时，有 ， 解得： ， ∴点 P 的坐标为（﹣ ，）； （iii）当 AA′为对角线时，有 ， 解得： ， ∴点 P 的坐标为（﹣ ，﹣2）． 综上所述：平面内存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐标为（2 ， ）、（ ﹣ ， ）和（﹣ ，﹣2）． 第 22 页（共 22 页）