空间向量与立体几何知识点归纳总结20.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点。1. 空间向量的 概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算。定义：与平面对量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOAABab; BAOAOBab ; OP

2、aR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律： 加法交换律： abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：abcabc abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就 ：三角形法就、平行四边形法就、平行六面体法就3. 共线向量。（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ，那么这些向量也叫做共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线向量或平行向量，a 平行于 b ，记作a / b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）共线向量定理 ：空间任意两个向量 a 、b （ b 0 ），a / b

3、存在实数 ，使a b 。（3）三点共线 ：A 、B、C 三点共线 ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）与 a 共线的单位向量为4. 共面对量 OCa axOAyOB其中xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）定义：一般的，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的 两向量都是共面 的。rrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）共面对量定理 ：假如两个向量a , b 不共线， p 与向量 a, b共面的条件是存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrx, y 使 pxayb 。可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 四点共面：如 A 、B、C、P 四点共面 APx ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OPxOAyOBzOC 其中 xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 空间向量基本定理 ：假如三个向量 a , b ,c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个唯独的有序实数组x, y, z ，使 pxaybzc 。r

5、rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r r rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面，我们把 a, b , c叫做空间的一个 基底，a, b ,c叫做基向量，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论： 设 O, A, B,C 是不共面的四点，就对空间任一点P ，都存在唯独的三个有序实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品名师归纳总结x, y, zuuuruuuruuuruuur，使 OPxOAyOBzOC资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任一点 A ，存在唯独的有序实数组 x,y, z ，使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAxiyizk，有序实数组 x,y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

7、归纳总结作 A x, y, z ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。注：点 A （x,y,z）关于 x 轴的 的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴 /平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为0,y,0,在平面 yOz中的点设为 0,y,z（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底 ，rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 i ,j , k表示。空间中任一向量axiy jzk=（ x,y,z）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）空间向量的

8、直 角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r如 ara1 , a2 , a3 ， brrb1,b2 ,b3 ，就 aba1b1, a2b2 ,a3b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rraba1rrb1 , a2b2 , a3rb3 ，aa1,a2,a3 R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1 rra2b2a3b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1b1, a2b2 , a3b3 R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rraba1b1a2b2a3b30 。uuur可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1 ,y1 , z1 ，Bx2 ,y2 , z2 ，就 AB x2x1 , y2y1 , z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定 比 分 点 公 式 ： 如A x1 ,y1 , z1 ，B x2 ,y2 , z2 ， APPB ， 就 点 P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 , y11y2 , z11z2 。推导：设 P（x,y,z）就 xx1, yy1,zz

10、1x2x, y2y,z2z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，当 P 为 AB 中点时，P x1x2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中， A（x1, y1 , z1）, B x2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 ， 三 角 形 重 心P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1x2 3x3 , y1y2 2y3 , z1z2z3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP ABABAC （单位向量）AC

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂心 P：高的交点： PAPBPAPCPBPC（移项，内积为0，就垂

12、直）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的全部心的合一。AP1 AB 3AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r（4）模长公式 ：如 ar a1, a2 ,a3 ， bb1, b2 , b3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr222rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |aaa1a2a3， | b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrra ba1b1a2b2a3b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）夹

13、角公式：cos a br。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222| a | | b |aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC中AB . AC0 A 为锐角 AB . AC0 A为钝角，钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6）两点间的距离公式：如A x1,uuuruuur 2y1 , z1 ， B x2 , y2 , z2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ，212121222或 dxx yy zz A

14、,B2121217. 空间向量的数量积。rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a ,b，在空间任取一点O ，作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAruuurrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, OBb， 就AOB 叫 做 向 量 a 与 b的 夹 角 ， 记 作a, b。 且 规 定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a , b，明显有a, bb , a。如a , b，就称 a 与b相互垂直，记作：a

15、b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurruuur2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）向量的模：设 OAa ，就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： | a | 。rrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）向量的数量积：已知向量a , b ，就 | a | b |cosa, b叫做 a, b的数量积，记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 ab，即 ab| a | b | cosa,b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

16、归纳总结（4）空间向量数量积的性质：rrrrrrrrrr2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ae| a | cosa, e。 abab0 。 | a |aa 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）空间向量数量积运算律：rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abab ab 。 abba（交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 abc abac（安排律）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不满意 乘法结合率： a二空间向量与立体几何b

17、cabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 线 线夹角（共面与异面） 0 O ,90O 两线的方向向量n1 , n2的夹角或夹角的补角，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - -

18、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-1 线面夹角0 O ,90O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结夹角，如为锐角角即可，如为钝角，就取其补角。再求其余角，即是线面的夹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角. sincosA

19、P , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3-2 面面夹角（ 二面角） 0 O ,180 O ：如两面的法向量一进一出，就二面角等于两法向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量 n1 , n2的 夹 角 。 法 向 量 同 进 同 出 ， 就 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscosn1, n2uuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

20、结4点面距离 h：求点P x0 , y0到平面的距离： 在平面上去一点Q x, y ，得向量 PQ ;。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算平面的法向量 n ;. hPQ.nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典型例题】1基本运算与基本学问（）例 1.已知平行六面体ABCD AB C D，化简以下向量表达式， 标出化简结果的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

21、uuuruuur ABBCuuuruuuruuur。 ABADAA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur1 uuuur 。 1uuuruuuruuur。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABADCC 2 ABADAA 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.对空间任一点 O 和不共线的三点uuuruuuruuuruuurA, B,C ，问满意向量式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPxOAyOBzOC （其中 xyz1 ）的四点 P, A, B, C 是否共面？可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知空间三点 A （ 0， 2，3），B（ 2，1，6），C（ 1， 1， 5）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求以向量uuuruuur AB, AC资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -为一组邻边的平行四边形的面积S。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ruuuruuurrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

23、名师归纳总结如向量 a 分别与向量AB, AC垂直，且 |a |3 ，求向量 a 的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4几何法例 4.如图，在空间四边形OABC中， OA8 ， AB6 ， AC4 ， BC5 ，OAC45o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAB60o ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：由图形知向量的夹角易

24、出错，如Buuuruuur OA, AC135o易错写成uuuruuur OA, AC45o，切记！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.长方体ABCDA1B1C1D1 中，ABBC4 ， E 为A1C1 与 B1D1 的交点， F 为BC1 与 B1C 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点，又 AFBE ，求长方体的高 BB1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ，连结 AC , BD ，设 M , G 分别是BC , CD 的中点，化简以下各表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuu

25、ruuuruuur式，并标出化简结果向量： （ 1） ABBCCD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur（2）1uuuruuuruuur。（3）uuuruuur1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBDBC 2AGABAC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

26、 -2. 已知平行四边形ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量。uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuuruuur OEkOA,OFkOB,OGkOC, OHkOD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）求证：四点E , F ,G, H 共面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）平面 AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图正方体ABCDA B C D 中，1B ED FA B ，求 BE 与 DF 所成角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111 111114可编

27、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.已知平行六面体 ABCDA B C D 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB4, AD3, AA5,BAD90 o ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAADAA60 o ，求 AC 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

28、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 解：如图，uuuruuuruuuruuuruuuruuur1（1） ABBCCDACCDAD 参考答案 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur（2）1uuuruuuruuur1 uuuruuur。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABBDBC ABBCBDuuuuuuruuuur2 uruuur2 2ABBMMGAG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur（3）uuuruuuruuuruuuuruuuur1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AG ABAC 2A

29、GAMMGuuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解：（ 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，ACABAD ，uuuruuuruuur EGOGOE ，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurkOCkOAkOCOAk ACk ABAD uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k OBOAODOAuuuruuurEFEH E , F ,G , H 共面。OFOEOHOE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuuruuuruuuru

30、uuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）解：EFOFOEk OBOAkAB ，又 EGkAC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF/ AB, EG /AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，平面3.AC / 平面 EG 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 B 1,1,0 ，E 1,3 ,1 ，14D 0,0,0 ，F 0, 1 ,1 ，14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuur1uuu

31、ur 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE10,1 ， DF140,1 ，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1DF1，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuur1115 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1DF10011441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosuuuuruuuur BE1, DF11617174415 。17uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 分析：uuuruu

32、urABAC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q AB2,1,3, AC1, 3,2,cosBACuuuruuur| AB | AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BAC 60，uuuruuur S| AB | AC| sin 60o73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a （ x，y，z），就 aAB2xy3 z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ruuurr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aACx3y2 z0,| a |3xyz3可编辑

33、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xy z 1 或 xy z 1， ar （ 1， 1， 1）或 ar （ 1， 1， 1）。uuuur2uuuruuuruuur2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 解： | AC| ABADAA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuur 2uuur 2uuur 2uuuruuuruuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | AD | AA|2 AB AD2ABAA2 AD AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222ooo可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ur435 uuu243cos90245