浙教出版初二(上)数学第三讲全等三角形的相互模型.doc

-! 第三讲 全等三角形的相关模型 【要点梳理】 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180 （3）OA平分∠BOC 变形： 要点二：角平分线模型 特点：由角平分线构成了的两个三角形。 结论：（1）△AFG≌△AEG （2）FG=GE 变形： 要点三：半角模型 特点： 结论：（1）MN=BM+DN （2）△CMN的周长=2AB （3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM 变形： 要点四：等腰直角三角形模型 1.在斜边上任取一点的旋转全等 操作过程： （1）将△ABD逆时针旋转90，使△ACM≌△ABD， 从而推出△ADM为等腰直角三角形。 （2）过点C作BC⊥MC，连AM导出上述结论 2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等 操作过程：连AD. （1）使BF=AE（或AF=CE），导出△BDF≌△ADE （2）使∠EDF+∠BAC=180，导出△BDF≌△ADE 3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图： 要点五：双垂直模型 特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。 结论：若AD=BD,则BH=AC 变形： ∠1=∠2，则AE=AF ∠1=∠2， ∠BAP=∠DAP，则AE=AF，AP⊥CF 要点六：三垂直模型 特点：图形中包含三条垂线，且有一组边。 结论：（1）△ABE≌△BCD （2） ED=AE-CD 变形： 要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形。 3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。 7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 【典型例题】 例1（手拉手模型）：如图，点C 为线段AB 上一点，△ABC、△CDE 是等边三角形，请你证明：。 （1）AD=BE （2）∠ACB=∠AOB （3）△PCQ为等边三角形 （4）PQ∥AE （5）AP=BQ （6）CO平分∠AOE （7）OA=OB+OC （8）OE=OC+OD 例2（角平分线模型）：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。 举一反三： 1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC，求证∠A+∠C=180 2、如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证： 3、△ABC中，∠BAC=60，∠C=40，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 例3（半角模型）：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠MAN=45；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM 举一反三： 1、 在正方形ABCD中，已知∠MAN=45，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH. 2、在四边形ABCD中，∠B+∠D=180，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF. 求证： 例4（等腰直角三角形模型）： 等腰直角△ABC中，∠BAC=90，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN=45，试探究BM、MN、CN之间的数量关系。 举一反三： 1、两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并证明你的结论。 2.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB =90，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证：BCP=15 例5(双垂线模型)：如右图，△ABC中，∠ABC =45，AC=4，H是高AD和BE的 交点，则线段BH的长度为 。 举一反三： 1、如图14-1，在△ABC中，BC边在直线L上，AC⊥BC,且AC=BC。△EFP的边FP也在直线L上，边EF与AC重合，且EF=FP.(1)猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线L向左平移至图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ，则BQ与AP满足什么样的数量关系和位置关系，请猜想并证明；（3）将△EFP沿直线L向左平移至图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？ 例6（三垂线模型）：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC =90，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF. 举一反三： 1、 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF. 求证：①∠ADB=∠CDF； ②BM=AF+FN 2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF，并分别延长 BM和FN交于点P.求证：①PM=PN； ②PB＝PF+AF 【巩固练习】 1、 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180，BC=CD，，求证：AC平分BAD. 2、如图,AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 3、如图所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。 4、如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。 5、如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D， CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 6、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于D，且AB=AD, 作CM⊥AD的延长线与M，求证： 7、如图，在△ODC中，∠D=90，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E作FF⊥OC交OC于点F，猜想：线段OD与EE之间的关系，并证明 。 8、如图， BD、C E分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD,AE⊥CE, 垂足分别是D、E，连接DE.求证： （1）DE∥BC，且 （2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2），其他条件不变，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？ （3）若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？ 9、如图，在△ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB+PC 与AB+AC的大小，并说明理由。 10.如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC =90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM. （1）判断△OMN的形状，并证明你的结论. (2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？ 11. 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求∠BAE+∠DCF=? 13. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB =2∠ABC，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证： ∠2 =2∠1 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90，AB=AD，若 E、F分别在边BC、CD上的点，且 求证：EF=BE +DF. 15. 如图AD∥BC，△ABE和△CDF 是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积。