立体几何知识点与例题讲解-题型方法技巧.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -立体几何学问点and 例题讲解一、学问点常用结论1证明直线与直线的平行的摸索途径：（ 1）转化为判定共面二直线无交点。（2）转化为二直线同与第三条直线 平行。（3）转化为线面平行。 （ 4）转化为线面垂直。 （5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的摸索途径：（ 1）转化为直线与平面无公共点。（ 2）转化为线线平行。 （ 3）转化为面面平行 .3证明平面与平面平行的摸索途径：（1）转化为判定二平面无公共点。（ 2）转化为线面平行。 （ 3）转化为线面垂直 .4证明直线与直线的垂直的摸索途径：（ 1）转

2、化为相交垂直。 （ 2）转化为线面垂直。 （ 3）转化为线与另一线的射影垂直。 （ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直线与平面垂直的摸索途径：（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直。（ 2）转化为该直线与平面内相 交二直线垂直。 （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行。（ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。（ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的摸索途径：（ 1）转化为判定二面角是直二面角。（ 2）转化为线面垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 夹角公式：设 a a , a,a ， b b , b,b ，就 cosa， b=a1b

3、1a2 b2a3 b3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123a2a2a2b2b2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8异面直线所成角：cos| cosa, b|=| a b |rr| x1x2y1 y2z1z2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | | b |x 2y 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（其中（ 0o90o ）为异面直线a,b 所成角，AB m111222rra, b分别表示异面直线a,b 的方向向量）可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 直线 AB 与平面所成角：arc sin|AB | m| m 为平面的法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、空间四点A、 B、C、P 共面11. 二面角l的平面角OPxOAyOBzOC ，且 x + y + z = 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arc cosm n或| m | n |arc cosm n| m | n |（ m ， n 为平面，的法向量） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、12. 三余弦定理：设AC是 内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为1 ， AB 与 AC所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成的角为2 ， AO与 AC所成的角为就coscos1 cos 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 空间两点间的距离公式如 A x1 , y1 , z1 ，B x2 , y2 , z2 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d= | AB |ABAB xx 2 yy 2 zz 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 异面直线间的距离：d|CDn | l , l 是两异面直线，其公垂向量为n ， C、D分别是 l,l上任一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d 为 l1, l2 间的距离 .15. 点 B 到平面的距离： d1212| n | AB n |（ n 为平面的法向量，AB 是经过面的一条斜线，A） .| n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 三个向量和的平方公式：abc2222abc2a b2b c2c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222abc2 | a | | b

7、| cosa,b2 | b | | c | cosb, c2 | c | | a | cosc, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17. 长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3 ，夹角分别为1、2、 3 , 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l 2l 2l 2l 2cos2cos2cos21sin2sin 2sin22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）

8、.S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18. 面积射影定理S. 平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，它们所在平面所成锐二面角的.cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19. 球的组合体 1 球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.2球与正方体的组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -合体

9、 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.3球与正四周体的组合体:棱长为 a 的正四周体的内切球的半径为6 a , 外接球的半径为6 a .12420. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）二温馨提示： 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范畴依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范畴依次是三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 线线 面面 面线 线线

10、 面面 面线 线线 面面 面判 定性 质线面平行的判定：Obc面面垂直：a 面 ，a面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b， b面，aa面 ab面 面 ，al，aaa， l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线面平行的性质：面 ，面 ，lbab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三垂线定理（及逆定理）：a 面 ，b面ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA 面 ，A O为PO在 内射影， aa

11、OAa PO。 aPOaAO面 ，就面 a，面 aab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P2、三类角的定义及求法（ 1）异面直线所成的角， 0 90Oa线面垂直：a b， a c， b，c， bcOa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）直线与平面所成的角 ， 0 900o 时，b 或b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

12、名师归纳总结（3）二面角：二面角l的平面角 ，0o180o（三垂线定理法： A 作或证 AB 于 B ，作BO 棱于 O，连 AO ，就 AO棱 l， AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。运算大小（解直角三角形，或用余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离仍是空间角，都要依据“一作，二证，三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点 1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂

13、足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 如图，正三棱柱ABCA1B1C1 的全部棱长都为2 ， D 为 CC1 中点AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求证：AB1 平面A1BD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求二面角AA1 DB 的大小。CDC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求点 C 到平面A1BD 的距离BB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考查目的： 本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大小，点到平面的距离等学问，考查空间想象才能、规律思维才能和运算才能解答过程 ：解法一：（）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正三角形，AO BC 学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -AA1FCODC1BB1第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正三棱柱ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面BCC1B1 ，AO 平面BCC1B1

15、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 B1O ，在正方形BB1C1C 中， O， D 分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC，CC1 的中点，B1O BD ，AB1 BD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正方形ABB1 A1 中，AB1 A1B ，AB1 平面A1BD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设AB1与A1B 交于点 G

16、，在平面A1 BD 中，作GF A1D于 F ，连结 AF ，由（）得AB1 平面A1BD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF A1D ， AFG为二面角AA1 DB 的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AA D 中，由等面积法可求得45 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1又AG1 AB1AF52 ，sinAFGAG210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AF4 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以二面角AA1DB 的大小为arcsin10 4可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（） A1BD 中，BDA1D5，A1B22，S A BD6 ， S BCD1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正三棱柱中，A1 到平面BCC1B1 的距离为3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 C 到平面A1BD 的距离为 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由VA BCDVC A BD ，得 1 S3 1 Sd ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结113 BCD3 A1BD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d3S BCD1S A BD2 点 C 到平面2ABD 的

18、距离为2 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：（）取 BC 中点 O ，连结 AO ABC 为正三角形，AO BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正三棱柱ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面BCC1 B1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD 平面BCC1B1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 B1C1 中点 O1 ，以 O 为原点， OB ， OO1 ， OA的方向为x，y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，就B1，0，0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D 1，1，0 ，A10，2，3

19、 ，A0，0，3 ， B11，2，0 ，z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB11，2，3 ， BD 2，1，0， BA1 1，2，3 AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1 BD2200，AB1 BA11430 ，FCODC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1 BD ，AB1 BA1 yBB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1 平面 A1BD x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设平面A1 AD 的法向量为nx， y，z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD 1，1，3 ， AA10，2，0 n AD ， n AA ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n AD0，n AA10，xy3z0， 2 y0，y0，x3z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 z1得 n3，0，1 为平面A1 AD 的一个法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（）知AB1 平面A1BD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1 为平面 A1BD 的法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosn ， AB1n AB1336 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nAB12 224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角AA1DB 的大小为arccos6 4可编辑资

22、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由（） ，AB1 为平面A1 BD 法向量，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC 2，0，0，AB11，2，3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 C 到平面A1 BD 的距离 dBC AB122 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1222小结 ：本例中（）采纳了两种方法求点到平面的距离.解法二采纳了平面对量的运算方法，把不易直接求的B可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品名师归纳总结点到平面AMB1 的距离转化为简洁求的点K 到平面AMB1 的距离的运算方法，这是数学解题中常用的方法。解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一采纳了等体积法，这种方法可以防止复杂的几何作图，显得更简洁些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点 2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求把握已给出公垂线段的异面直线的距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知三棱锥SABC，底面是边长为4 2 的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面. E、D 分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC、AB

24、 的中点，求CD 与 SE 间的距离 .思路启发 ：由于异面直线CD 与 SE 的公垂线不易查找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程 ：如下列图，取BD 的中点 F，连结 EF ， SF ，CF ，EF 为BCD 的中位线，EF CD ,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离，设其为h ，由题意知，BC42 ,D 、E 、F 分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

25、第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AB 、BC 、BD 的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD26 , EF1 CD26, DF2 , SC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VS CEF11EFDFSC116 323222233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCE 中， SESC2CE

26、223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCF 中， SFSC2CF 2424230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又EF6,S SEF3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 VCSEFVS CEF1S SEF3h ，即 13 h32323，解得 h33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 CD 与 SE 间的距离为23 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：通过

27、本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点 3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 如图，在棱长为2 的正方体AC1 中， G 是AA1 的中点，求BD 到平面GB1 D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程 ：A1D1C1O1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析一BD 平面GB1 D1 ，H可编辑资料 -

28、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1 D1 的距离皆为所求，以下求GDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O 平面GB1 D1 的距离 ,OAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1D1A1C1 ，B1 D1A1 A ，B1 D1平面 A1 ACC1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又B1 D1平面 GB1D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 A1 ACC1GB1 D1 ，两个平面的交线是O1 G ,可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 OHO1G 于 H ，就有 OH平面1GB1D1 ，即 OH 是 O 点到平面1GB1 D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在O1OG 中，S O1OGO1OAO222 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 S O1OG1OH 21O1G23OH2 ,OH26 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

30、- - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1 D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析二BD 平面GB1 D1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点B 平面GB1 D1 的距

31、离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 B 到平面GB1D1 的距离为h，将它视为三棱锥BGB1 D1 的高，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V B GB1D1V D1GBB1,由于 SGB1 D112236，2V D1 GBB1112224,323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h426 ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1D1的距离等于26 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：当

32、直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是依据选出的点直接作出距离。解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重点 .例 4 、如图，在 Rt AOB 中，OAB，斜边 AB64 Rt AOC可以通过 Rt AOBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（I）求证：平面C

33、OD平面 AOB 。D（II）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：（ II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解答过程 ：解法 1 ：（ I）由题意，COAO ， BOAO ，BOC 是二面角BAOC 是直二面角， COBO ，又AOBOO ，CO平面 AOB ，又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB OEBCzAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II）作 DEOB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），就， DE AOCDE 是异面直线AO 与 CD 所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt COE中， COBO2 ， OE1 BO1 ，2OByxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CECO2OE25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳