2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第6章 第4讲 数列求和、数列的综合应用.docx

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1、第四讲数列求和、数列的综合应用题组1等差、等比数列的综合应用1.2014新课标全国,5,5分文等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2D.n(n-1)22.2015湖南,14,5分设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.3.2014安徽,12,5分数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.4.2017全国卷,17,12分文已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b

2、2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.5.2017北京,15,13分文已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.()求an的通项公式;()求和:b1+b3+b5+b2n-1.6.2016天津,18,13分已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.()设cn=bn+12-bn2,nN*,求证:数列cn是等差数列;()设a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN*,求证:k=1n1Tk100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.

3、330C.220D.1108.2013江西,12,5分文某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.题组3数列与其他知识的综合9.2016浙江,8,5分文如图6-4-1,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()图6-4-1A.Sn是等差数列B.Sn2是等差数列C.dn是等差数列D.dn2是等差数列10.2015福建,1

4、6,4分文若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.11.2016四川,19,12分文已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.()若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式;()设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+en2.12.2015安徽,18,12分设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.()求数列xn的通项公式;()记Tn=x12x

5、32x2n-12,证明:Tn14n.A组基础题1.2018武汉市部分学校调研,3已知等比数列an中,3a2,2a3,a4成等差数列,设Sn为数列an的前n项和,则S3a3等于()A.139 B.3或139 C.3 D.792.2017东北三省四市一模,5已知数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且满足a2 016+a2 017=,b20b21=4,则tan a1+a4 0322+b19b22=()A.33 B.3 C.1 D.-13.2017石家庄市一模,8已知函数f(x)在(-1,+)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=

6、f(a51),则数列an的前100项的和为()A.-200 B.-100 C.0 D.-504.2018长春市高三第一次质量监测,17已知数列an的前n项和Sn=2n+1+n-2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2(an-1),求证:1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+11.5.2017南昌市三模,17已知数列an满足a12+a222+a323+an2n=n2+n.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nan2,求数列bn的前n项和Sn.B组提升题6.2018洛阳市尖子生高三第一次联考,16已知数列an满足nan+2-(n+2)an=(n2+2n),其中

7、a1=1,a2=2,若anan+1对任意的nN*恒成立,则实数的取值范围是.7.2017宁夏银川市高中教学质量检测,16我们把满足xn+1=xn-f(xn)f (xn)的数列xn叫作牛顿数列.已知函数f(x)=x2-1,数列xn为牛顿数列,设an=ln xn-1xn+1,已知a1=2,则a3=.8.2017陕西省六校第三次适应性训练,16已知数列an满足a1=43,an+1-1=an(an-1)(nN*),且Sn=1a1+1a2+1an,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为.9.2017长沙市五月模拟,17设数列an的前n项和是Sn,若点An(n,Snn)在函数f(x)=-x+

8、c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=aan,求数列bn的前n项和Tn的最小值.10.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,17已知各项均为正数的等差数列an满足a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,设an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列Snn2n的前n项和为Tn,求证:Tn3.答案1.A因为a2,a4,a8成等比数列,所以a42=a2a8,所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+1).故选A.2.3n-1 由3S1,2S2,S3成等差

9、数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,所以公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.3.1解法一因为数列an是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列,又a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常数列,故q=1.解法二因为数列an是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),化简得d2+4d+4=0,解得d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.4.设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.

10、由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得d=3,q=0(舍去)或d=1,q=2.因此bn的通项公式bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21;当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.5.()设等差数列an的公差为d.因为a2+a4 =10,所以2a1+4d=10,解得d=2,所以an=2n-1.()设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5=9,所以b1qb1q3=9,解得q2=3,所以b2n-1= b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3 +b5+b2n-1=1+3+

11、32+3n-1=3n-12.6.()由题意得bn2=anan+1,则cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.()Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1).所以=12d2(1-1n+1)100,令n(n+1)2100,n14,nN*,即N出现在第13组之后.易得第n 组的所有项的和为1-2n1-2=2n-1,前n组的所有项的和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.设满足条

12、件的N在第k+1(kN*,k13)组,且第N项为第k+1组的第t(tN*)个数,第k+1组的前t项的和 2t-1应与-k-2互为相反数,即2t-1=k+2,2t=k+3,t=log2(k+3),当t=4,k=13时,N=13(13+1)2+4=95100;当t5时,N440,故选A.8.6设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可令第n天后的植树总数2(1-2n)1-2100,即2n51,而25=32,26=64,又nN*,所以n6.9.A如图D 6-4-1,记hn为AnBnBn+1的边BnBn+1上的高(nN*),设锐角的大小为,根据图象可知

13、,hn+1=hn+|AnAn+1|sin ,又|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Sn+1-Sn=12|Bn+1Bn+2|hn+1-12|BnBn+1|hn=12|BnBn+1|(hn+1-hn)=12|BnBn+1|AnAn+1|sin .根据题意,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,|AnAn+1|=|An+1An+2|,12|BnBn+1|AnAn+1|sin 为常数,Sn为等差数列,故选A.图D 6-4-110.9因为a,b为函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,所以p2-4q0,a+b=p,ab=q,又p0,q0,所以a0,b0,所以当-2在中间时,a,

14、b,-2这三个数不可能成等差数列,且只有当-2在中间时,a,b,-2这三个数才能成等比数列.经分析知,a,b,-2或b,a,-2或-2,a,b或-2,b,a成等差数列,a,-2,b或b,-2,a成等比数列.不妨取ab,则只需研究数列a,b,-2成等差数列,数列a,-2,b成等比数列,则有a-2=2b,ab=4,解得a=4,b=1或a=-2,b=-2(舍去),所以p=5,q=4,所以p+q=9.11.()由已知Sn+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减,得an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以数列an是首项为1,公

15、比为q的等比数列,从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2,所以an=2n-1(nN*).()由()可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=2得q=3.所以e12+e22+en2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+q2n-1q2-1=n+12(3n-1).12.()y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2

16、)(x-1).令y=0,得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.()由题设和()中的计算结果知Tn=x12x32x2n-12=(12)2(34)2(2n-12n)2.当n=1时,T1=14.当n2时,因为x2n-12=(2n-12n)2=(2n-1)2(2n)2(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n,所以Tn(12)21223n-1n=14n.综上可得对任意的nN*,均有Tn14n.A组基础题1.B设等比数列an的公比为q,由3a2,2a3,a4成等差数列,得3a2+a4=4a33a2+a2q2=4a2qa2(q2-4q+3)=0a2=0(舍去)或q2-4q+3=0

17、,q=3或q=1.当q=3时,S3=a1(1-q3)1-q,S3a3=a1(1-q3)a1q2(1-q)=1-q3q2-q3=1-3332-33=139; 当q=1时,数列an是常数列,a1=a2=a3,此时S3a3=a1+a2+a3a3=3.综上,故选B.2.A 依题意得a1+a4 032=a2 016+a2 017=,b19b22=b20b21=4,所以tana1+a4 0322+b19b22=tan6=33,选A.3.B因为函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称.又函数f(x)在(-1,+)上单调,数列an是公差不为0的等差数列,且f(a5

18、0)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100=100(a1+a100)2=50(a50+a51)=-100,故选B.4.(1)由Sn=2n+1+n-2,Sn-1=2n+(n-1)-2(n2),得an=Sn-Sn-1=2n+1(n2).当n=1时,a1=S1=3,也适合an=2n+1.综上,an=2n+1.(2)由(1)知,bn=log2(an-1)=log22n=n.所1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+1=112+123+134+1n(n+1)=(1-12)+(12-13)+(13-14)+(1n-1n+1)=1-1n+11.5.(1)a12+a222+a323+a

19、n2n=n2+n,当n2时,a12+a222+a323+an-12n-1=(n-1)2+n-1,-得,an2n=2n(n2),an=n2n+1(n2).又当n=1时,a12=1+1,a1=4也适合an=n2n+1,an=n2n+1.(2)由(1)得,bn=(-1)nan2=n(-2)n,Sn=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,-2Sn=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+(n-1)(-2)n+n(-2)n+1,-得,3Sn=(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1=-21-(-2)n3-n(-2)n+1,Sn=-(3n+1)(-2)n+1+29

20、.B组提升题6.0,+)由nan+2-(n+2)an=(n2+2n)=n(n+2)得an+2n+2-ann=,所以数列ann的奇数项与偶数项均是以为公差的等差数列,因为a1=1,a2=2,所以当n为奇数时,ann=1+(n+12-1)=n-12+1,所以an=n2-n2+n;当n为偶数时,ann=1+(n2-1)=n-22+1,所以an=n2-2n2+n.当n为奇数时,由anan+1得n2-n2+n-2,若n=1,则R,若n1,则-2n-1,所以0;当n为偶数时,由anan+1得n2-2n2+n-2,所以-23n,即0.综上,实数的取值范围为0,+).7.8由f(x)=x2-1,得f (x)=

21、2x,则xn+1=xn-xn2-12xn=xn2+12xn,所以xn+1-1=(xn-1)22xn,xn+1+1=(xn+1)22xn,所以xn+1-1xn+1+1=(xn-1)2(xn+1)2,所以lnxn+1-1xn+1+1=ln(xn-1)2(xn+1)2=2lnxn-1xn+1,即an+1=2an,所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列,则a3=222=8.8.7因为数列an满足a1=43,an+1-1=an(an-1)(nN*),所以an+1-an=(an-1)20,an+1an,因此数列an单调递增.由a1=43,an+1-1=an(an-1),得a2-1=43(43-1),a

22、2=139,同理a3=13381,a4=13 4776 561,1a3-1=81521,1a4-1=6 5616 9161,所以当n4时,01an-10,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2,数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)知a1=d=2,则Sn=2n+n(n-1)22=n2+n,设bn=Snn2n,则bn=Snn2n=n+12n.Tn=221+322+n2n-1+n+12n,12Tn=222+323+n2n+n+12n+1,-得,12Tn=221+122+123+12n-n+12n+1,Tn=2+121+122+12n-1-n+12n=2+12(1-12n-1)1-12-n+12n=3-12n-1-n+12n3.Tn3.