2019版高考数学（文科 课标版）一轮复习题组训练：第10章第3讲 抛物线.docx

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1、第三讲抛物线题组1抛物线的定义和标准方程1.2016全国卷,5,5分文设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.12 B.1 C.32 D.22.2014新课标全国,10,5分文已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.83.2013江西,9,5分文已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.25B.12C.15D.134.2016浙江,9,4分若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10

2、,则M到y轴的距离是.5.2015陕西,14,5分若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.6.2017北京,18,14分已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.()求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;()求证:A为线段BM的中点.题组2抛物线的几何性质7.2017全国卷,12,5分文过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5

3、B.22C.23D.338.2015陕西,3,5分文已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)9.2014辽宁,8,5分文已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-1210.2014新课标全国,10,5分已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=()A.72B.52C.3D.211.2017浙江,21,15分如图10-3-1,已知抛物线x2=

4、y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12x0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.()求p的值;()若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.图10-3-2A组基础题1.2018辽宁五校联考,11抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则AHF的面积是()A.4 B.33 C.43 D.82. 2018河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试,7直线l过抛物线y2=-2px

5、(p0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12x B.y2=-8x C.y2=-6x D.y2=-4x3.2017南昌市三模,7已知直线l:y=kx-k(kR)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线的焦点,若2FM=MN,则实数k等于()A.33B.1 C.3D.24.2018唐山市高三五校联考,15过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p=.5.2018广东七校联考,15过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|A

6、F|=3,则|BF|=.6.2018贵阳市高三摸底考试,20过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标.B组提升题7.2018益阳市、湘潭市高三调考,10如图10-3-2,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.203图10-3-28.2018广东七校第一次联考,12如图10-3-3所示,抛物线y=14x2,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛

7、物线的切线,两切线交于点M,设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),则:若AB的斜率为1,则|AB|=4;|AB|min=2;yM=-1;若AB的斜率为1,则xM=1;xAxB=-4.以上结论正确的个数是()图10-3-3A.1 B.2 C.3 D.4 9.2017太原市三模,12已知点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x+12)2+(y-4)2=1上,则|PQ|的最小值为()A.352-1 B.332-1 C.23-1D.10-110.2018武汉市部分学校调研测试,21已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,

8、B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.答案1.D由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设P(xP,yP),由PFx轴可得xP=1,代入抛物线方程得yP=2或yP=-2(舍去),把P(1,2)代入曲线y=kx(k0)得k=2.故选D.2.A由题意知抛物线的准线为x=-14.因为|AF|=54x0,根据抛物线的定义可得x0+14=|AF|=54x0,解得x0=1,故选A.3.C过点M作MM垂直于准线y=-1于点M,则由抛物线的定义知|MM|=|FM|,所以|FM|MN|=|MM|MN|=sinMNM,而MNM为直线FA的

9、倾斜角的补角.因为直线FA过点A(2,0),F(0,1),所以kFA=-12=tan ,所以sin =15,所以sinMNM=15.故|FM|MN|=15.故选C.4.9由于抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为直线x=-1,设点M的坐标为(x,y),则x+1=10,所以x=9.故M到y轴的距离是9.5.22y2=2px的准线方程为x=-p2,又p0,所以x=-p2必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-2,0),所以-p2=-2,p=2 2.6.()由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为(14,0),准线方程为x=-14.

10、()由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0,所以x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,则点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=y2x2x,则点B的坐标为(x1,y2x1x2).因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=(kx1+12)x2+(kx2+12)x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y

11、1+y2x1x2=2x1.故A为线段BM的中点.7.C解法一依题意,得F(1,0),则直线FM的方程是y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,得x=13或x=3.由M在x轴的上方,得M(3,23),由MNl,得|MN|=|MF|=3+1=4,又NMF等于直线FM的倾斜角,即NMF=60,因此MNF是边长为4的等边三角形,所以点M到直线NF的距离为432=23,选C.解法二依题意,得直线FM的倾斜角为60,则|MN|=|MF|=21-cos60=4,又NMF等于直线FM的倾斜角,即NMF=60,因此MNF是边长为4的等边三角形,所以点M到直线NF的距离为432=23,选C.8.B因为抛

12、物线的准线方程为x=-p2=-1,p2=1,焦点坐标为(1,0),故选B. 9.C因为点A在抛物线的准线上,所以-p2=-2,所以该抛物线的焦点F(2,0),所以kAF=3-0-2-2=-34,选C.10.C过点Q作QQl交l于点Q,因为FP=4FQ,所以|PQ|PF|=34,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ|=3.故选C.11.()设直线AP的斜率为k,则k=x2-14x+12=x-12,因为-12x32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).()联立直线AP与BQ的方程,得kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得点Q的横坐标是xQ=-k2+4k+32

13、(k2+1).因为|PA|=1+k2(x+12)=1+k2(k+1),|PQ|=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在(-1,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|PQ|取得最大值2716.12.()由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,所以p=2.()由()得,抛物线的方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直

14、于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B(1t2,-2t).所以直线AB的斜率为2tt2-1,直线FN的斜率为-t2-12t.从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t,所以N(t2+3t2-1,-2t).设M(m,0),由A,M,N三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,解得m=2t2t2-1,所以m2.经检验,m2满足题意.综上可知,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).A组基础题1.C由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,AF的斜率为33,AF的倾斜角为3

15、0,AH垂直于准线,FAH=60,故AHF为等边三角形.设A(m,m24),m0,过F作FMAH于M,则在FAM中,|AM|=12|AF|,m24-1=12(m24+1),解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,AHF的面积是1244sin 60=43.故选C.2.B设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,-x1+x22=2,x1+x2=-4,p=4,所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.3.C抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线的焦点.当k0时,如图D 10-3-

16、3所示,过点M作MM垂直于准线x=-1,垂足为M,由抛物线的定义,得|MM|=|MF|,易知MMN与直线l的倾斜角相等,由2FM=MN,得cosMMN=|MM|MN|=12,则tanMMN=3,直线l的斜率k=3;当kx2,将直线AB的方程代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,4x1x2= p2.设抛物线的准线为l,过A作ACl,垂足为C,过B作BDl,垂足为D,因为|AF|=2|BF|=6,根据抛物线的定义知,|AF|=|AC|=x1+p2=6,|BF|=|BD|=x2+p2=3,所以x1- x2=3,x1+x2=9-p,所以(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x

17、1x2=p2,即18p-72=0,解得p=4.5.32解法一由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),|AF|=3,由抛物线的定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.如图 D 10-3-4所示,不妨设点A在第一象限,将x=2代入y2=4x,得y2=8,所以点A的纵坐标为22,即A(2,22),所以直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x,解得x=12,y=-2或x=2,y=22.所以点B的横坐标为12,所以|BF|=12-(-1)=32.图D 10-3-4图D 10-3-5解法二如图D 10-3-5所示,不妨设点A在第一象限,设AFx=,A(x

18、A,yA),B(xB,yB),则由抛物线的定义知xA+1=2+3cos =3,解得cos =13.又|BF|=xB+1=1-|BF|cos +1=2-13|BF|,所以|BF|=32.6.(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知k0,且=-(2k2+4)2-4k2k2=16(k2+1)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,2k2+4k2=6,k2=1,即k=1,直线l的方程为y=(x-1).(2)由抛物线

19、的对称性知,D点的坐标为(x1,-y1),直线BD的斜率kBD=y2+y1x2-x1=y2+y1y224-y124=4y2-y1,直线BD的方程为y+y1=4y2-y1(x-x1),即(y2-y1)y+y2y1-y12=4x-4x1,y12=4x1,y22=4x2,x1x2=1,(y1y2)2=16x1x2=16,即y1y2=-4(y1,y2异号),直线BD的方程为4(x+1)+(y1-y2)y=0,恒过点(-1,0).B组提升题7.C解法一如图D 10-3-6所示,设l与x轴交于点M,过点A作ADl并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF

20、|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以x1=3,解得y1=23,所以A(3,23),又F(1,0),所以直线AF的斜率k=233-1=3,所以直线AF的方程为y=3(x-1),代入抛物线方程y2=4x得,3x2-10x+3=0,所以x1+x2=103,|AB|=x1+x2+p=163.故选C.图D 10-3-6解法二如图D 10-3-6,设l与x轴交于点M,过点A作ADl并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,

21、解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=p24=1,所以x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=163.故选C.解法三如图D 10-3-6,设l与x轴交于点M,过点A作ADl并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.因为1|AF|+1|BF|=2p,|AF|=4,所以|BF|=43,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163.故选C.8.B由题意得,焦点F(0,1)

22、,对于,lAB的方程为y=x+1,与抛物线的方程联立,得y=x+1,y=14x2,消去x,得y2-6y+1=0,所以yA+yB=6,则|AB|=yA+yB+p=8,则错误;对于,|AB|min=2p=4,则错误;因为y=x2,则lAM:y-yA=xA2(x-xA),即y=12xAx-xA24,lBM:y-yB=xB2(x-xB),即y=12xBx-xB24,联立lAM与lBM的方程得y=12xAx-xA24,y=12xBx-xB24,解得M(xA+xB2,xAxB4).设lAB的方程为y=kx+1,与抛物线的方程联立,得y=kx+1,y=14x2,消去y,得x2-4kx-4=0,所以xA+xB

23、=4k,xAxB=-4,所以yM=-1,和均正确;对于,当AB的斜率为1时,xM=2,则错误,故选B.9.A设点P(y2,y)(yR),圆(x+12)2+(y-4)2=1的圆心为A(-12,4),则|PA|2=(y2+12)2+(y-4)2=y4+2y2-8y+654,令t=y4+2y2-8y+654,则t=4y3+4y-8,令m=t=4y3+4y-8,则m=12y2+40,所以m=t=4y3+4y-8在R上是增函数,因为t|y=1=0,所以y=1为t=y4+2y2-8y+654的极小值点,也是最小值点,所以|PA|2=t的最小值为454,所以|PA|的最小值为352,所以|PQ|的最小值为3

24、52-1,故选A.10.设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y=xp,则A,B处的切线的斜率的乘积为x1x2p2=-2p,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,-2p=-1,p=2.(2)易得直线AN:y-y1=x1p(x-x1),直线BN:y-y2=x2p(x-x2),联立,得y-y1=x1p(x-x1),y-y2=x2p(x-x2),结合式,解得x=pk,y=-1,即N(pk,-1).|AB|=1+k2|x2-x1|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24p2k2+8p,点N到直线AB的距离d=|kxN+1-yN|1+k2=|pk2+2|1+k2,则ABN的面积SABN=12|AB|d=p(pk2+2)322p,当k=0时,取等号,ABN的面积的最小值为4,22p=4,p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.