D1-8连续性间断点.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;目录 上页 下页 返回 结束 continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如

2、例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xOy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:目录 上页 下页

3、返回 结束 例例. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一,

4、 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点可去间断点 .为跳跃间断点跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .目录 上页 下页 返回 结束 xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点

5、.xy1sin)2(1x为可去间断点 .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点

6、振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P65 题 3 , *8)(xf为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,目录 上页 下页 返回 结束 P65 题题*8 提示提示:xxxfsin1sin1)( 作业作业 P65 4 ; 5 xyO1第九节 1目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.xxxf1e11)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf